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Entiendo que a,b≥0a,b≥0, en cuyo caso es claro que son el mismo conjunto si aa o bb es 00 (pues ambos son el conjunto {0}{0}), si aa o bb es 11, o si a=ba=b.

Pero en general no son el mismo conjunto:

Toma r,sr,s dos racionales más pequeños que xx. Entonces r=p0q0r=p0q0 y s=p1q1s=p1q1 con pi,qi∈Npi,qi∈N.

Digamos que existe tt cumpliendo las condiciones (tt es de la forma t=p2q2t=p2q2) tal que (ab)t=arbs(ab)t=arbs, entonces tomando logaritmo en ambos lados (lo que es posible pues consideramos a,b>0a,b>0) y aplicando las propiedades del logaritmo obtenemos

t(log(a)+log(b))=rlog(a)+slog(b)t(log⁡(a)+log⁡(b))=rlog⁡(a)+slog⁡(b).

Sabiendo que rr, ss y tt son de la forma piqipiqi podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por q0q1q2q0q1q2, quedando p0q1q2p0q1q2 en lugar de rr; p1q0q2p1q0q2 en lugar de ss; y p2q0q1p2q0q1 en lugar de tt. Además p0q1q2,p1q0q2,p2q0q1∈Np0q1q2,p1q0q2,p2q0q1∈N. Llamémoslos n0,n1,n2n0,n1,n2 respectivamente.

La nueva igualdad es

n2(log(a)+log(b))=n0log(a)+n1log(b)⇒(n2−n0)log(a)=(n1−n2)log(b)n2(log⁡(a)+log⁡(b))=n0log⁡(a)+n1log⁡(b)⇒(n2−n0)log⁡(a)=(n1−n2)log⁡(b)

⇒log(a)log(b)=n1−n2n2−n0⇒logb(a)=n1−n2n2−n0⇒log⁡(a)log⁡(b)=n1−n2n2−n0⇒logb⁡(a)=n1−n2n2−n0 (podemos hacer esto porque estamos considerando aa y bb distintos de 11). A la derecha de la igualdad tenemos un número racional, pues tanto el numerador como el denominador son números enteros. Sin embargo a la izquierda no siempre tenemos un número racional pues, por ejemplo, una vez que hemos seleccionado bb podemos seleccionar a=bπa=bπ; o podríamos seleccionar aa y bb números naturales tal que no sean potencia el uno del otro, y tampoco funcionaría.

Sería interesante analizar para qué selecciones de aa y bb obtenemos el mismo conjunto.