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Sea:

I=∫dxtanx−−−−√&J=∫dxcotx−−−−√.I=∫dxtan⁡x&J=∫dxcot⁡x.

Sumando o Restando las integrales se tiene

I±J=∫dx(tanx−−−−√±cotx−−−−√).I±J=∫dx(tan⁡x±cot⁡x).

Asimismo nótese que

tanx−−−−√±cotx−−−−√=sinx±cosxcosxsinx−−−−−−−−√,0≤x≤π/2.tan⁡x±cot⁡x=sin⁡x±cos⁡xcos⁡xsin⁡x,0≤x≤π/2.

Es importante poner el rango de validez de la identidad trigonométrica anterior, ya que quienes hacen este método usualmente lo omiten y dan por hecho que la expresión es para todo xx, sin hacer el análisis correspondiente. De hecho, la integral original está definida en los intervalos nπ≤x≤(2n+1)π2nπ≤x≤(2n+1)π2, para n∈Zn∈Z. (Por lo que también habría que tomar en cuenta la identidad trigonométrica que es válida en los intervalos del tipo π≤x≤3π/2π≤x≤3π/2.)

De esta forma, la suma de las integrales queda

I+J=∫d(sinx−cosx)12√1−(sinx−cosx)2−−−−−−−−−−−−−−−√=2–√arcsin(sinx−cosx)+c1.I+J=∫d(sin⁡x−cos⁡x)121−(sin⁡x−cos⁡x)2=2arcsin⁡(sin⁡x−cos⁡x)+c1.

Mientras que la resta de las integrales,

I−J=∫−d(sinx+cosx)12√(sinx+cosx)2−1−−−−−−−−−−−−−−−√=−2–√arccosh(sinx+cosx)+c2.I−J=∫−d(sin⁡x+cos⁡x)12(sin⁡x+cos⁡x)2−1=−2arccosh(sin⁡x+cos⁡x)+c2.

Luego

I=2–√2(arcsin(sinx−cosx)−arccosh(sinx+cosx))+c.I=22(arcsin⁡(sin⁡x−cos⁡x)−arccosh(sin⁡x+cos⁡x))+c.

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