¿Por qué, excepto sus múltiplos, cualquier número dividido por 11 resulta un racional periódico?

Todo número racional no periódico puede escribirse de la forma:

m10dm10d

Es decir, como un entero dividido por una potencia de 10, lo cual resulta ser una fracción, aunque quizá no irreducible.

Por ejemplo:

34.6789=34678910000=34678910434.6789=34678910000=346789104

Obsérvese que el exponente "d" es el número de cifras decimales, después del punto decimal.

Si un número entero N dividido por 11 fuese un racional no periódico como los descritos antes, se cumpliría:

N11=m10dN11=m10d

Y ahora nada nos impide multiplicar por el producto de los denominadores.

N⋅10d=11⋅mN⋅10d=11⋅m

Y esto implica que N debe ser un múltiplo de 11.
En caso de que N no sea múltiplo de 11 es imposible que N/11 de un racional no periódico que tenga un número finito "d" de decimales.

Obsérvese que esto no es algo que ocurra solamente con el 11, sino con cualquier número primo que no sea el 2 ni el 5, es decir, números como 3, 7, 13, 17, 19…
Y, en general, con cualquier número que no sea de la forma 2^a * 5^b ya que si el número por el que dividimos es divisible por un primo que no sea 2 ni 5 entonces toda esa parte no divisible deberá aparecer en el N … si no aparece es imposible.

Ejemplo:
N / (2*2*5*3*3*7) = N / 1260

¿Cuándo N / 1260 puede ser racional no periódico?
Debe cumplirse que N sea múltiplo de todos los factores primos que no sean 2 ni 5, es decir, múltiplo de 3*3*7 = 63
Ej:
63/1260 = 1/20 = 0.05
1000/1260 = 0.793650 793650 793650 … (el 1000 no es múltiplo de 63)

Ahora podemos dar otro punto de vista:

Cualquier número racional periódico puede escribirse como fracción.

P = a.[efgh…][efgh…][efgh…] …

Eso es:
P = a + efgh…/ 10^k + efgh… / 10^2k …

Multiplicamos por 10^k siendo siendo k el número de cifras decimales que se repiten. Y nos queda:

P * 10^k =
10^k * (a + efgh…/ 10^k) + efgh… / 10^k + …

Ahora restamos:

P*10^k - P =
= (10^k - 1) * a + efgh…

P = a + efgh…/ (10^k - 1)

Así que cualquier número con periodo puede escribirse como fracción.

P = a + efgh…/ 9999…

Ej: te dicen ¿cuál es la fracción de 0.1234 1234 … ?
1234/9999

Pero es que resulta que 1/11 = 0.09 09 09 09 …
Y se observa que la parte periódica tiene 2 decimales.
Y también resulta que 10^2 - 1 = 99 = 11*9

Los números de tipo P = 0.fg fg fg …
Si hacemos 100P - P
Queda:
fg . fg fg …. - 0.fg fg … = fg
P = fg / 99

Si "fg" es múltiplo de 9 será una fracción de tipo N/11
1/11 = 0.09 09 09 …
2/11 = 0.18 18 18 …
3/11 = 0.27 27 27 …
…
10/11 = 0.90 90 90
(los 9, 18, 27 … son múltiplos de 9)

Faltaría probar que cualquier número racional tiene una expresión decimal que o bien tenga un número finito de decimales o bien un periodo.

Los números que no son de la forma 2^a * 5^b tendrán una descomposición en números primos que será 2^a * 5^b * c donde "c" sería un número coprimo
con el 10.

El Teorema de Euler dice que si dos enteros c y n son coprimos se cumple:
n^(c-1) (mod c) = 1 (mod c)

Para el caso particular n = 10 :

10^(c-1) (mod c) = 1 (mod c)

O bien:

10^(c-1) - 1 (mod c) = 0 (mod c)

Lo que significa que c | 10^(c-1) - 1
O bien: 10^(c-1) - 1 = k*c
1/c = k/ (10^(c-1) - 1)

Nótese que 10^(c-1) - 1 es de la forma 9999…