¿Qué número es más grande, Googolplexian o el número de Graham?

El número de Graham con muchísima diferencia.

El Googolplexian es 10Googolplex10Googolplex

El Googolplex es 10Googol10Googol

El Googol es 1010010100

Este último tiene 100 ceros.

Y ahora deshacemos las definiciones hacia atrás:

El Googol es 1010210102

El Googolplex es 10101021010102

El Googolplexian es 101010102101010102

Existe otro nombre con un nivel más:

El Googolplexianth es 1010101010210101010102

Y este es menor que 101010101010101010101010

Y esto último se puede escribir en notación flecha arriba de Knuth. [1]

101010101010=10↑↑6101010101010=10↑↑6

10↑↑6= 610=1010101010106 veces 10=10↑(10↑(10↑(10↑(10↑10))))6 veces 1010↑↑6= 610=101010101010⏟=10↑(10↑(10↑(10↑(10↑10))))⏟6 veces 106 veces 10

¿Y el número de Graham?
Este es un número monstruoso que es hasta un poco complicado de explicar.
Tiene 64 niveles y ya el nivel bajo es monstruoso.

Esta sería la definición [2] :

G=3↑↑⋯⋯⋯⋯⋯↑33↑↑⋯⋯⋯⋯↑3⋮3↑↑⋯⋅⋅↑33↑↑↑↑3⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪64 filasG=3↑↑⋯⋯⋯⋯⋯↑⏟33↑↑⋯⋯⋯⋯↑⏟3⋮⏟3↑↑⋯⋅⋅↑⏟33↑↑↑↑3}64 filas

También se puede definir de otra forma:

G=g64, donde g1=3↑↑↑↑3, gn=3↑gn−13,G=g64, donde g1=3↑↑↑↑3, gn=3↑gn−13,

El nivel más bajo, llamado g1g1 es 3↑↑↑↑33↑↑↑↑3

¿Se observan las 4 flechas?
¿Qué significan esas 4 flechas?

Antes dije el significado de las 2 flechas:

3↑↑3=333=327=7625597484987=7.6⋅10123↑↑3=333=327=7625597484987=7.6⋅1012

No está mal ¿verdad?
Solamente 3 niveles de un aparentemente inofensivo 3 y supera a 10101010
Pero esto solo acaba de empezar.

Agarraos fuerte.
Espero que no se os derrita el cerebro con esto xDD

3↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)=3↑↑76255974849873↑↑↑3=3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7625597484987

¿Se observa la brutalidad?
Ahora tenemos una escalera de potencias con ¡¡¡ 3↑↑3=76255974849873↑↑3=7625597484987 pisos!!! …
Sí, cada piso solamente tiene el 3 pero esto ya es muchísimo más que un Googolplexianth por mucho que ese tenga un número 10 en cada uno de sus 6 pisos.

Y no hemos ni arrancado el nivel más bajo de los 64 niveles de Graham.

De los 3↑↑3=76255974849873↑↑3=7625597484987 pisos de exponencial, podemos calcular los 3 de arriba, que serían justamente el número 3↑↑3=76255974849873↑↑3=7625597484987 .
Y luego el siguiente sería

3762559748498737625597484987

que no calculan las calculadoras normales y tenemos que recurrir a Wolfram Alpha

3^7625597484987 - Wolfram|Alpha

37625597484987≈10363833464002437625597484987≈103638334640024

Y el propio Wolfram Alpha sugiere una expresión como potencia de 10 encadenada de la forma:

3333=37625597484987≈101012.563333=37625597484987≈101012.56

Sí, solamente 4 niveles de exponencial de un simple 3 ya es muchísimo más que un Googol. Recordemos que el Googol es 1010010100, o bien 1010210102

Para que os hagáis una idea de la importancia del número de niveles, más que el número que está en esos niveles, incluiré algunos ejemplos.

2^2 = 4

2^(2^2) = 2^4 = 16

2^(2^(2^2)) = 2^16 = 64*1024 > 64000

2^(2^(2^(2^2))) > 2^64000 = (2^10)^6400 > 1000^6400 = 10^(6400*3) > 10^19000

2^(2^(2^(2^(2^2)))) > 2^(10^19000) > (2^10)^(10^18999) > 1000^(10^18999)
1000^(10^18999) = (10^3)^(10^18999) = 10^(10^18999)

222222222222

Esto ya es mucho más que un Googolplex

2^(2^(2^(2^(2^(2^2))))) > 2^(10^(10^18999)) = (2^10)^(10^(10^18999 - 1)

2222222=2↑↑7>>101010189982222222=2↑↑7>>10101018998

Y esto último ya es mayor que un Googolplexian.
Hay que tener en cuenta que es el número 2, no el 3 ni el 10, y solamente 7 pisos, de potencias (no son pisos de dobles flechas).

Antes dije que:

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑76255974849873↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987

Y eso son 7625597484987 pisos de potencias… del 3, no del 2…

Pero es que el nivel bajo de Graham no se queda ahí, sino que es:

3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑↑3)3↑↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑↑3)

Y ahora el número de dobles flechas es un número que se obtiene con 7625597484987 pisos de potencias…. Bestial, ¿verdad?
Si solamente 7 pisos del 2 ya superaba el Googolplexian intentad imaginar (si os atrevéis) lo grandísimo que es 3↑↑↑3=3↑↑76255974849873↑↑↑3=3↑↑7625597484987 y si eso ya humilla al Googolplexian luego intentad imaginar esa brutalidad pero en pisos… y eso solamente es el nivel más bajo del número de Graham.

Ahora recordemos que el Googolplexian era menor que esto:

10↑↑5= 510=10101010105 veces 10=10↑(10↑(10↑(10↑10)))5 veces 1010↑↑5= 510=1010101010⏟=10↑(10↑(10↑(10↑10)))⏟5 veces 105 veces 10

1010101010=10↑↑51010101010=10↑↑5

Son "5 pisitos de nada" y dos "ridículas" flechas.
Este "ridículo" Googolplexian es realmente descomunal para nosotros vulgares humanos, pero comparado con el nivel más bajo de Graham es menos que una birria.

Bueno, pero he comparado con el nivel más bajo y el número de Graham tiene 63 niveles más… y ahora no hablo de pisos de potencias… son niveles de abstracción superior…
El número de Graham es casi casi inimaginable.

Dicho número se popularizó cuando el gran Martin Gardner habló de él en 1977 diciendo que era el número más grande (en aquella fecha) que había sido usado en una demostración matemática. Sí, señores, no es un número inventado por capricho sino para demostrar algo, demostrar que existe una solución a un problema matemático concreto. Aunque la realidad es todavía más complicada porque este número que expliqué aquí y que Gardner popularizó no fue exactamente el que se usó en la demostración matemática sino que este es “una versión simplificada”… no se si os hacéis una idea: el número usado en la demostración era todavía más complicado.

Pero no acaba ahí la historia, porque hay otros números que convierten al número de Graham en un enano birrioso. Uno de ellos sería el n(4) de Friedman, pero el que parece ser el campeón se llama el número ÁRBOL(3), o en inglés, TREE(3)… Puede sonar a chiste que con este nombre tan inofensivo sea un número tan brutal.
Además, resulta que ÁRBOL(1)=1 y ÁRBOL(2) = 3. Con esos precedentes, un simple 1 y un discreto 3 cuesta imaginar cómo es posible que explote de repente y supere al de Graham.
Y no os puedo explicar lo que es TREE(3) porque todavía no lo he comprendido.

Pero, claro, el ser humano no se conforma con eso y hay quien puestos a imaginar habló del TREE(g64)TREE(g64) es decir un ARBOL con un Graham… ¡Qué barbaridad! Por supuesto, se pueden inventar barbaridades mayores, claro. Pero la gracia no es inventar por inventar a ver quien dice la burrada más grande sino que el TREE(3) realmente tiene un significado matemático, por mucho que sea un significado difícil de comprender.

Añado: como prueba de barbaridades imaginables, aunque no se usen para demostraciones matemáticas, he visto también el llamado "número de Rayo" [3] .
Este salió de un concurso o "duelo" de números grandes organizado en el MIT el 26 de enero del año 2007. Fue ideado por el filósofo mexicano Agustín Rayo.
El número de Rayo es una variante de la siguiente definición:

" El menor número que sea más grande que cualquier número finito nombrado por una expresión en el lenguaje de la teoría de conjuntos que tenga un googol de símbolos o menos".

El número de Rayo podría decirse que sería casi literalmente innombrable, exceptuando la forma de nombrarlo o definirlo que dio Rayo. Digamos que supera a todos los "nombrables" ya que por definición es más grande que ellos… al menos los "nombrables" con un googol de símbolos o menos, pero dado que en el Universo conocido hay menos partículas que un googol, difícilmente otra persona o sistema físico podría "nombrar" otro mayor.
Agustín Rayo está especializado en filosofía de la lógica, del lenguaje y de las matemáticas… así que parece que dio con una definición que fuese coherente con la lógica, sin entrar en contradicciones, y basada en los símbolos de un lenguaje.

Notas al pie