o el número 'e' de Euler?

He aquí una pregunta de asombrosa profundidad, que pertenece verdaderamente a la Filosofía de la matemática.

Lo cierto es que no hay ningún ingenio digital (ya sea informático, telefónico, o en general, electrónico de la clase que se quiera) que pueda manejar números irracionales no ya como exponente de una potencia, sino ni siquiera como un simple sumando de una suma o un factor de un producto, o de cualquier otra operación elemental o avanzada.

Tú puedes programar un ordenador para que cuando le pidas el resultado de π + π te conteste en pantalla o a través de una impresora:

"El resultado exacto es 2π". Pero esto no es operar con números irracionales. Es solo un jueguecito del software.

Porque si le pides que te diga cuánto es 2π , o bien te contesta que es

π + π, con lo cual te das cuenta de la tautología (círculo vicioso que, en estos casos, no nos aporta nada relevante, pero es una verdad lógica) o bien te dice, por ejemplo, que:

2π = 6.2831853071795864769252867665590057683943387987502116419498891846

Y puede que con mucha mayor aproximación todavía, pero lo que está haciendo en su interior la calculadora o el ordenador o tablet o smartphone, o el aparato que sea, es identificar un número irracional con una de sus aproximaciones racionales, lo más a menudo, decimales: las máquinas no saben que hay números irracionales, y los sustituyen por racionales más o menos aproximados.

No solo una potencia de exponente irracional, como inquiere la pregunta, sino una simple suma como

e + π + √3 es una operación que, en rigor, no puede efectuar el ordenador, porque además, si realmente pudiera hacerlo, muy probablemente te contestaría de manera tautológica:

e + π + √3 = e + π + √3, o bien, e + π + √3 = √3 + e + π, o cosas parecidas.

Recuerdo a un compañero de clase que, después de considerar el número e, el número π, el número áureo Φ = (1+ √5) / 2 …exclamó:

¡Ya está claro: los números irracionales no son números, son letras! (!!).

No le faltaba razón, en un cierto sentido pitagórico muy profundo.

Incluso decir √2 , √3, √5…es expresar una operación que NUNCA se ha realizado, ni se puede "realizar" salvo que cambiemos la definición de qué es "realizar"; solo podemos darle un nombre a ese proceso infinito, inacabable, y como se obtienen esos "números" a partir del 2, del 3, del 5… el nombre parece "numérico" pero en realidad es solo un símbolo, y puestos en rigor, √3 es también "una letra", aunque no esté en ningún abecedario ni alfabeto. O sea, √3 es un símbolo que significa "el único número real positivo que elevado al cuadrado da como resultado exactamente 3.

Para abreviar esa frase tan larga, escribimos √3 y creemos que eso es un número. Y sí que lo es, es un número real, si se entiende el concepto de número real como lo definió Dedekind, mediante sus ingeniosas cortaduras en la recta racional, o como lo definieron otros grandes matemáticos como Cantor, Weierstrass…etc. mediante procesos infinitos que llevan de manera equivalente a la existencia de números irracionales, que son los "agujeros negros" de la recta racional.

Ahora bien, a ver cómo le "explicamos" esto a una máquina…

Los procesos interminables son, por definición, imposibles de tratar con una máquina (por ahora, claro, tal vez después de 3 siglos esta afirmación sea ridícula).

Por ahora, desde luego, no hay manera.

Así que si tecleas, por ejemplo, 2^π la máquina calcula π con toda la aproximación racional que quieras (siempre que no te excedas en tus deseos, de modo que vayan más allá de la capacidad de cálculo de la máquina, que siempre es limitada y finita, por muy grande que sea).

Y luego, calcula el logaritmo natural del valor racional aproximado de

la base, en este caso ya es racional = 2 ; un logaritmo que, casi siempre (y en este caso, seguro) es "otra letra", o sea, otro número irracional, pero la máquina lo aproxima suficientemente por medio de un número racional, o al menos dentro del margen de aproximación usual que maneja ella.

Finalmente calcula exp(π log 2) = 2^π donde en π log 2 no se toma el valor exacto, sino que se elige un número racional muy bien aproximado al valor exacto, multiplicando la aproximación racional de π por la aproximación racional de log 2 . Y si ese valor racional aproximado de π log 2 lo llamamos A , la máquina tampoco calcula exactamente exp (A) , sino que suma suficientes términos racionales de la serie

1 + A/1! + A²/2! + A³/3! + …+ Aⁿ/n! + …y obtiene un resultado racional para exp (A), expresado en forma decimal, casi siempre muy bien aproximado a lo que queríamos calcular, y así nos dice que:

2^π = 8.8249778270762876238564296042080015817044108152714849266689598650

De modo que hemos inventado los números irracionales para casi nunca operar directamente con ellos de manera exacta, salvo casos muy poco frecuentes en que desaparecen por cancelación, como (2^π / 2^π) + 5 - e + 8 + e = 14.

Y entonces ¿para qué tanto esfuerzo en construir los números reales? ¿no deberíamos habernos conformado con los racionales, que son los únicos "números" en el sentido pitagórico y visceral?

Pues no: necesitábamos urgentemente construir los números reales para saber que cuando nos aproximamos a cierto número irracional, nos estamos aproximando hacia "algo", y no hacia la nada.

Si sabemos que, por ejemplo, existen los logaritmos de todos los números positivos, aunque la mayoría (desde el punto de vista del cardinal) sean irracionales, podremos usar los logaritmos de manera aproximada; pero si no supiéramos seguro que existen, nos podríamos aproximar mucho, pero hacia el abismo.

El problema es teórico, no práctico, pero es que la teoría es la que garantiza que la práctica tenga algún sentido.