¿Cómo se dedujo el número e?

Aquí hay cuatro ejemplos diferentes para examinar.

• Libro: "e:e: The Story of a Number" [e:e: La Historia de un Número], Eli Maor
• Sitio web: The Number e [El Número ee]
• Artículo: e The Exponential - the Magic Number of Growth [ee El Exponencial - el Número Mágico del Crecimiento]
• Revista: J L Coolidge, The number ee [El número ee], Amer. Math. Monthly 57 (1950), 591-602

Referencias

• Math Stack Exchange. Respuesta de Amzoti a la pregunta de user83622 editada por MJD: How was $e$ first calculated? [¿Cómo se calculó ee por primera vez?]

El primer enlace de la respuesta funciona correctamente, pero no se encuentra el segundo, aunque se puede encontrar dicho artículo por el título [ee the Exponential - the Magic Number of Growth] y por el autor [Keith Tognetti].

Dicho esto, voy a hacer una traducción del primer enlace:

El número e

Uno de los primeros artículos que incluimos en la sección "Temas de Historia" de nuestro archivo web fue sobre la historia de π.π. Es un artículo muy popular y ha hecho que muchos pidan un artículo similar sobre el número e.e. Hay un gran contraste entre los desarrollos históricos de estos dos números y, en muchos aspectos, escribir una historia de ee es una tarea mucho más difícil que escribir una para π.π. El número ee es, comparado con π,π, un relativo recién llegado a la escena matemática.

El número ee aparece por primera vez en las matemáticas de forma muy minoritaria. Fue en 1618, cuando, en un apéndice de la obra de Napier sobre los logaritmos, apareció una tabla con los logaritmos naturales de varios números. Sin embargo, no se reconoció que se trataba de logaritmos en base e,e, ya que la base a la que se calculan los logaritmos no surgía de la forma en que se pensaba en los logaritmos en esa época. Aunque ahora pensamos en los logaritmos como los exponentes a los que hay que elevar la base para obtener el número requerido, esta es una forma moderna de pensar. Volveremos a este punto más adelante en este trabajo. Esta tabla del apéndice, aunque no lleva el nombre del autor, fue escrita casi con toda seguridad por Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, de nuevo ee casi llegó a la literatura matemática, pero no del todo. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo en base 1010 de e,e, pero no mencionó la propia ee en su obra.

La siguiente aparición posible de ee es de nuevo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Es discutible si reconoció la relación con los logaritmos, e incluso si lo hizo, no había razón para que se encontrara con el número ee explícitamente. Sin duda, en 1661, Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx=1yx=1 y el logaritmo. Por supuesto, el número ee es tal que el área bajo la hipérbola rectangular de 11 a ee es igual a 1.1. Esta es la propiedad que hace que ee sea la base de los logaritmos naturales, pero esto no fue comprendido por los matemáticos en ese momento, aunque poco a poco se fueron acercando a esa comprensión.

Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva que él llama "logarítmica", pero que en nuestra terminología denominaríamos curva exponencial, de la forma y=kax.y=kax. De ahí sale también el logaritmo en base 1010 de e,e, que Huygens calculó con 1717 lugares decimales. Sin embargo, en su obra aparece como el cálculo de una constante y no se reconoce como el logaritmo de un número (por lo que, de nuevo, se trata de una aproximación, pero ee sigue sin reconocerse).

Le siguieron otros trabajos sobre logaritmos en los que todavía no aparece el número ee como tal, pero que contribuyen al desarrollo de los logaritmos. En 1668, Nicolaus Mercator publicó Logarithmotechnia [Logaritmotecnia], que contiene la expansión en serie de log(1+x).log⁡(1+x). En esta obra, Mercator utiliza por primera vez el término "logaritmo natural" para los logaritmos en base e.e. El propio número ee tampoco aparece como tal y, de nuevo, queda elusivamente a la vuelta de la esquina.

Tal vez sea sorprendente que, dado que este trabajo sobre los logaritmos había estado tan cerca de reconocer el número e,e, la primera vez que se "descubre" ee no es a través de la noción de logaritmo sino más bien a través de un estudio del interés compuesto. En 1683, Jacob Bernoulli estudió el problema del interés compuesto y, al examinar el interés compuesto continuo, intentó encontrar el límite de (1+1n)n(1+1n)n a medida que nn tiende a infinito. Utilizó el teorema del binomio para demostrar que el límite tenía que estar entre 22 y 3,3, por lo que podríamos considerar que se trata de la primera aproximación encontrada a e.e. Además, si aceptamos esto como una definición de e,e, es la primera vez que se define un número mediante un proceso de límite. Ciertamente, no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y el de los logaritmos.

Ya hemos mencionado que en los primeros años de su desarrollo no se pensaba que los logaritmos tuvieran ninguna relación con los exponentes. Por supuesto, a partir de la ecuación x=at,x=at, deducimos que t=logx,t=log⁡x, donde el logaritmo es de base a,a, pero esto implica una forma de pensar muy posterior. Aquí estamos pensando realmente en el logaritmo como una función, mientras que los primeros trabajadores de los logaritmos pensaban puramente en el logaritmo como un número que ayudaba al cálculo. Quizá fuera Jacob Bernoulli el primero en comprender que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Por otro lado, la primera persona que estableció la conexión entre los logaritmos y los exponentes puede haber sido James Gregory. En 1684, reconoció sin duda la conexión entre logaritmos y exponentes, pero puede no haber sido el primero.

Por lo que sabemos, la primera vez que el número ee aparece por derecho propio es en 1690. En ese año, Leibniz escribió una carta a Huygens y en ella utilizó la notación bb para lo que ahora llamamos e.e. Por fin el número ee tenía un nombre (aunque no el actual) y era reconocido. El lector se preguntará, no sin razón, por qué no hemos empezado nuestro artículo sobre la historia de ee en el punto en el que hace su primera aparición. La razón es que, aunque los trabajos que hemos descrito anteriormente nunca llegaron a identificar a e,e, una vez que se identificó el número, poco a poco se comprendió que estos trabajos anteriores eran relevantes. Retrospectivamente, los primeros desarrollos sobre el logaritmo se convirtieron en parte de la comprensión del número e.e.

Ya hemos mencionado los problemas derivados del hecho de que el logaritmo no se consideraba una función. Sería justo decir que Johann Bernoulli comenzó el estudio del cálculo de la función exponencial en 1697 cuando publicó Principia calculi exponentialium seu percurrentium [Principios de los cálculos exponenciales o de carga] Ⓣ. El trabajo incluye el cálculo de varias series exponenciales y muchos resultados se obtienen con la integración término a término.

Gran parte de nuestra notación matemática se debe a Euler, por lo que no es de extrañar que la notación ee para este número se deba a él. Sin embargo, la afirmación que se ha hecho a veces de que Euler utilizó la letra ee porque era la primera letra de su nombre es ridícula. Probablemente ni siquiera se trate de que la ee provenga de "exponencial" sino que puede ser simplemente la siguiente vocal después de la "aa" y Euler ya utilizaba la notación "aa" en su trabajo. Sea cual sea la razón, la notación ee hizo su primera aparición en una carta que Euler escribió a Goldbach en 1731. En los años siguientes hizo varios descubrimientos sobre e,e, pero no fue hasta 1748, cuando Euler publicó Introductio in Analysin infinitorum [Introducción al Análisis infinito] Ⓣ, que dio un tratamiento completo a las ideas en torno a e.e. Demostró que

e=1+11!+12!+13!+⋯e=1+11!+12!+13!+⋯

y que ee es el límite de (1+1n)n(1+1n)n cuando nn tiende a infinito. Euler dio una aproximación para ee con 1818 lugares decimales,

e=2,718281828459045235e=2,718281828459045235

sin decir de dónde procedía. Es probable que él mismo calculara el valor, pero si es así, no hay ninguna indicación de cómo lo hizo. De hecho, tomando unos 2020 términos de 1+11!+12!+13!+⋯1+11!+12!+13!+⋯ dará la precisión que dio Euler. Entre otros resultados interesantes de este trabajo está la conexión entre las funciones seno y coseno y la función exponencial compleja, que Euler dedujo utilizando la fórmula de De Moivre.

Curiosamente, Euler también dio la expansión de la fracción continua de ee y observó un patrón en la expansión. En particular, dio e−12=11+16+110+114+118+⋯,e−12=11+16+110+114+118+⋯, normalmente escrito 11+16+110+114+118+⋯11+16+110+114+118+⋯ o [0;1,6, 10,14,⋯][0;1,6, 10,14,⋯] y e−1=1+11+12+11+11+14+11+12+16+...e−1=1+11+12+11+11+14+11+12+16+... o [1;1,2,1,1,2,1,1,4,1,1,6,⋯].[1;1,2,1,1,2,1,1,4,1,1,6,⋯].

Euler no dio una prueba de que los patrones que vio continúan (que sí lo hacen), pero sabía que si se diera una prueba de este tipo, se demostraría que ee es irracional. Porque, si la fracción continua de (e−1)/2(e−1)/2 siguiera el patrón mostrado en los primeros términos, 6,10,14,18, 22,26,⋯6,10,14,18, 22,26,⋯ (añadiendo 44 cada vez) entonces nunca terminará, por lo que (e−1)/2(e−1)/2 (y por tanto ee) no puede ser racional. Uno podría ver esto como el primer intento de demostrar que ee no es racional.

La misma pasión que impulsó a la gente a calcular hasta más y más lugares decimales de ππ nunca pareció arraigar de la misma manera para e.e. Sin embargo, hubo quienes calcularon su expansión decimal y el primero en dar ee a un gran número de lugares decimales fue Shanks en 1854. Vale la pena señalar que Shanks fue un calculador aún más entusiasta de la expansión decimal de π.π. Glaisher demostró que los primeros 137137 lugares de los cálculos de Shanks para ee eran correctos, pero encontró un error que, después de la corrección de Shanks, dio ee a 205205 lugares. En realidad se necesitan unos 120120 términos de 1+11!+12!+13!+⋯1+11!+12!+13!+⋯ para obtener ee correcto a 200200 lugares.

En 1864, Benjamin Peirce se fotografió de pie frente a una pizarra en la que había escrito la fórmula i−i=eπ−−√.i−i=eπ. En sus clases decía a sus alumnos:-

Señores, no tenemos la menor idea de lo que significa esta ecuación, pero podemos estar seguros de que significa algo muy importante.

La mayoría de la gente acepta a Euler como el primero en demostrar que ee es irracional. Ciertamente, fue Hermite quien demostró que ee no es un número algebraico en 1873. Sigue siendo una cuestión abierta si eeee es algebraico, aunque por supuesto lo único que falta es una prueba - ¡ningún matemático creería seriamente que eeee es algebraico! Por lo que sabemos, lo más cerca que han estado los matemáticos de demostrarlo es un resultado reciente de que al menos uno de eeee y ee a la potencia e2e2 es trascendental.

Siguieron otros cálculos de expansiones decimales. En 1884, Boorman calculó ee hasta 346346 lugares y descubrió que su cálculo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187,187, pero luego se diferenciaba. En 1887, Adams calculó el logaritmo de ee en base 1010 hasta 272272 lugares.

Quien desee ver ee a 1000010000 lugares - haga clic en ESTE ENLACE.

Referencias

1. E Maor, e : the story of a number [e:e: la historia de un número] (Princeton, 1994).
2. J L Coolidge, The number e [El número ee], Amer. Math. Monthly 57 (1950), 591-602.

Escrito por J J O'Connor y E F Robertson

Última Actualización Septiembre 2001

Notas

• Hay un error en una representación del número e.e. Concretamente, en esta:

e−1=1+11+12+11+11+14+11+12+16+...e−1=1+11+12+11+11+14+11+12+16+...

El último 22 debería estar reemplazado por un 1,1, con lo cual la representación correcta es

e−1=1+11+12+11+11+14+11+11+16+...e−1=1+11+12+11+11+14+11+11+16+...

Por otro lado, la versión simplificada de esta representación no es [1;1,2,1,1,2,1,1,4,1,1,6,⋯][1;1,2,1,1,2,1,1,4,1,1,6,⋯] sino [1;1,2,1,1,4,1,1,6,⋯].[1;1,2,1,1,4,1,1,6,⋯].

Ver WikipediaEN. "e (mathematical constant)" [ee (constante matemática)] y MathWorld. "e Continued Fraction" [Fracción Continua de ee] para más información.