El número 0 es un número natural, ¿sí o no?

Según la construcción de Peano de números enteros, no lo es.

Según la construcción de von Neumann de números enteros, sí lo es.

La construcción de von Neumann es mejor hasta el punto de que los axiomas de Peano se convierten en teoremas demostrables si se parte desde von Neumann.

Así que sí, los números naturales incluyen al cero, el primero de ellos, el más básico y a través del que se construyen todos los demás. Equivale a lo que en teoría de conjuntos se llama conjunto vacío.