¿Por qué el cero es un número natural entero y racional?

Matizando las excelentes respuestas anteriores:

Que el cero sea o no un número natural es cuestión de convenio, no tiene mayor importancia. Si consideramos que el conjunto NN de los naturales está definido por los axiomas de Peano, entonces el primer número natural es el 11. Pero si seguimos la construcción de John von Neuman, que comienza asociando el conjunto vacío al 00, entonces el primero número natural es el 00.

La construcción más natural es la primera, pues para contar comenzamos por el 11, no por el 00. Sin embargo, aunque el conjunto (N,+)(N,+) con la operación suma habitual no es un grupo, si al menos contiene al 00 es un monoide, que mola más. Ese es todo el misterio.