¿Cómo se encuentra la serie de Maclaurin para \text {arcsinh} (x)?

arcsenhx=∫11+x2√dxarcsenhx=∫11+x2dx

Por otra parte, si f(x)=(1+x)nf(x)=(1+x)n, entonces:

f′(x)=n(1+x)n−1f′(x)=n(1+x)n−1

f′′(x)=n(n−1)(1+x)n−2f″(x)=n(n−1)(1+x)n−2

f′′′(x)=n(n−1)(n−2)(1+x)n−3f‴(x)=n(n−1)(n−2)(1+x)n−3

f(k)(x)=n(n−1)…(n−k+1)(1+x)n−kf(k)(x)=n(n−1)…(n−k+1)(1+x)n−k

Estas igualdades son válidas siempre que "n" no sea un número natural, o k<nk. Incluso sirven para números complejos no reales. Entonces la serie de McLaurin para f(x)f(x) es:

f(x)=1+n1!x+n⋅(n−1)2!x2+n⋅(n−1)⋅(n−2)3!x3+…f(x)=1+n1!x+n·(n−1)2!x2+n·(n−1)·(n−2)3!x3+…; y poniendo x2x2 en lugar de xx, y n=−12n=−12 quedaría que:

11+x2√=(1+x2)−12=1+−121!x2+−12⋅−322!x4+−12⋅−32⋅−522!x6+…=11+x2=(1+x2)−12=1+−121!x2+−12·−322!x4+−12·−32·−522!x6+…=

1−11!⋅21x2+1⋅32!⋅22x4−1⋅3⋅53!⋅23x6+…1−11!·21x2+1·32!·22x4−1·3·53!·23x6+…

Entonces:

arcsenhx=∫11+x2√dx=∫10!⋅20−11!⋅21x2+1⋅32!⋅22x4−1⋅3⋅53!⋅23x6+…dx=arcsenhx=∫11+x2dx=∫10!·20−11!·21x2+1·32!·22x4−1·3·53!·23x6+…dx=

10!⋅20⋅x11−11!⋅21⋅x33+1⋅32!⋅22⋅x55−1⋅3⋅53!⋅23⋅x77+…+C=10!·20·x11−11!·21·x33+1·32!·22·x55−1·3·53!·23·x77+…+C=

x1−12x33+1⋅32⋅4x55−1⋅3⋅52⋅4⋅6x77+…+Cx1−12x33+1·32·4x55−1·3·52·4·6x77+…+C

Y sabiendo que arcsenh0=0arcsenh0=0, se deduce que C=0C=0.