¿Podría ser el número pi diferente a 3.14159…?

Depende de qué entiendas por π.π.

Antes que nada, definamos qué es una distancia.

Una distancia es una función que toma dos objetos, como pueden ser dos puntos, dos funciones, o dos palabras, y les asigna un valor que mide cómo de cerca o lejos están. Además, para que una función sea llamada distancia, tiene que cumplir tres cosas:

1. Si estamos midiendo cómo de lejos están diversos objetos, pues la primera condición está clara: siempre tiene que ser la función positiva.
2. La segunda condición también tiene todo el sentido: si la distancia entre dos cosas es cero, pues tienen que ser la misma cosa.
3. Y la tercera, la desigualdad triangular, que seguramente también nos sonará.

Escrito matemáticamente:

Una distancia dd es una función

d:X×X→Rd:X×X→R

que cumple con tres cosas:

1. d(a,b)≥0d(a,b)≥0
2. d(a,b)=0⟺a=bd(a,b)=0⟺a=b
3. d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)

Cualquier expresión del siguiente tipo:

∥(x,y)∥p=(|x|p+|y|p)1p‖(x,y)‖p=(|x|p+|y|p)1p

donde

p∈[1,∞)p∈[1,∞)

cumple con las tres condiciones anteriores y se puede clasificar de distancia. A esta distancia general se la llama distancia lp.lp.

Cuando p=1,p=1, obtenemos la llamada distancia del Taxi o Manhattan:

∥(x,y)∥1=|x|+|y|‖(x,y)‖1=|x|+|y|

Imagen ilustrativa de la distancia del Taxi o Manhattan. La distancia que existe entre el taxi (punto AA) y el punto BB es la misma, independientemente del recorrido (que solo puede ser horizontal o vertical). En la ecuación general, se ha escogido que (x1,y1)=(0, 0).(x1,y1)=(0, 0).

Cuando p=2,p=2, obtenemos la distancia euclídea:

∥(x,y)∥2=(|x|2+|y|2)12‖(x,y)‖2=(|x|2+|y|2)12

Imagen ilustrativa de la distancia euclídea. El valor de la distancia que aparece en la imagen es arbitrario.

Cuando p=∞,p=∞, obtenemos la llamada distancia de Chebyshov o Infinito:

∥(x,y)∥∞=máx{|x|,|y|}‖(x,y)‖∞=máx{|x|,|y|}

Imagen ilustrativa de la distancia de Chebyshov o Infinito.

Ilustremos ahora estas distancias mediante el uso de bolas.

En el caso de un círculo de radio 11 centrado en (0,0),(0,0), tenemos que p=2p=2 y que

∥(x,y)∥2=(|x|2+|y|2)12≤1‖(x,y)‖2=(|x|2+|y|2)12≤1

o, si se prefiere,

x2+y2≤1x2+y2≤1

Imagen ilustrativa de un círculo de radio 11 centrado en (0,0).(0,0).

Pero si p=1,p=1, manteniendo el mismo radio y centro, ya no tenemos un círculo sino más bien un rombo:

y en este caso se cumple que

|x|+|y|≤1|x|+|y|≤1

Conforme pp vaya aumentando, nuestra bola se parecerá más a un cuadrado (por lo tanto, en el ∞,∞, será exactamente un cuadrado):

Bola en l4.l4.

Bola en l16.l16.

Bola en l40.l40.

Superposición de varias bolas distintas.

Pero lo que nos interesaba era saber el valor de π,π, así que vayamos al grano.

Seguramente todos tenemos en mente que ππ está definido como el ratio entre la longitud de una circunferencia y el diámetro y que vale aproximadamente 3.143.14 (33 para los ingenieros).

Su valor exacto es

π=Longitud circunferenciaDiámetro=3.141592⋯π=Longitud circunferenciaDiámetro=3.141592⋯

Bueno, pues esa será nuestra opinión, porque en realidad este ratio depende de la distancia que escojamos, i.e., depende del parámetro p.p.

Para p=2,p=2, el ratio es el que hemos definido antes.

Pero ¿qué pasa cuando p=1p=1?

La distancia entre los puntos naranja y azules es 2,2, y como hay cuatro partes iguales, el perímetro será 2⋅4=8.2⋅4=8. El diámetro queda claro que es 2.2. Así,

π1=82=4π1=82=4

Si graficamos todos los valores posibles de πp,πp, obtenemos lo siguiente:

El valor de πpπp nunca podrá exceder 44 y cuando p=2,p=2, alcanza su valor mínimo:

π2=ππ2=π

Referencias (información + imágenes):

Información importante sobre el vídeo

• El vídeo se publica en YouTube.
• El vídeo se publica en el canal de YouTube Mates Mike.
• El vídeo se titula "No Todas las Bolas Son Redondas | Cuando π ≠ 3,14…"
• El vídeo es narrado por el matemático Mike (no me sé su nombre real).
• El vídeo se publicó el 6 de marzo del 2022.

Edición: Mike indicó en una respuesta a un comentario que faltaba la propiedad simétrica en las condiciones de definición de distancia:

La propiedad simétrica consiste en que

• d(a,b)=d(b,a)d(a,b)=d(b,a)

Obviamente, si existe esta condición, significa que a veces no se cumple: