¿Puedes explicar un espacio Banach a alguien que sabe muy poca matemática?

Trataré de ser lo más explícito posible. En primer lugar examinemos la línea real RR. Este espacio es el formado por los números que conoces, e incluye a los números naturales, a los números enteros, los números racionales y a los números irracionales. Pues bien, la línea real posee 3 propiedades fundamentales:

1. En RR podemos hablar de una norma o distancia (que denotaremos por dd), es decir, podemos decir que tan lejos o que tan cerca está un número de otro. Usualmente a esta distancia se le conoce como norma Euclidiana y viene dada por el valor absoluto. En símbolos tenemos que d(x,y)=|x−y|d(x,y)=|x−y|.
2. Toda sucesión de Cauchy es convergente. Sin entrar en definiciones difíciles de digerir, se dice que una sucesión es de Cauchy si sus elementos se encuentran muy cerca unos de otros. Por otro lado, una sucesión es convergente si existe un punto límite de tal sucesión. En símbolos tenemos que la sucesión {xn}n∈N{xn}n∈N es de Cauchy si |xn−xm|<ε,|xn−xm|<ε, donde nn y mm son números naturales muy grandes y εε es cualquier número real positivo. De modo similar, la sucesión {xn}n∈N{xn}n∈N es convergente si existe x∈Rx∈R de modo que limn→∞xn=x,limn→∞xn=x, es decir, los elementos de {xn}n∈N{xn}n∈N están muy, pero muy cerca de xx.
3. En RR existen unos conjuntos de números que son densos, es decir, cada vez que tomemos un intervalo abierto de la forma (a,b),(a,b), siempre podemos encontrar un elemento de tales conjuntos. En particular, existe un conjunto denso que es numerable, lo cual significa que tiene tantos elementos como el conjunto de los números naturales. Tal conjunto es el formado por los números racionales QQ.

Ahora observa que existen muchos espacios con estas propiedades, por ejemplo el plano Euclidiano R2,R2, el espacio tridimensional R3R3, y en general cualquier espacio de la forma RnRn, donde nn es un número natural. Pues bien, cualquier espacio normado (que posee una norma como en el inciso 1), que es completo (toda sucesión de Cauchy es convergente) y separable (que contiene un conjunto denso y numerable) es un espacio de Banach.

Observa que debe cumplir las 3 propiedades de manera forzosa, por ejemplo, el intervalo (0,1)(0,1) cumple las propiedades 1 y 3, pero no la propiedad 2 (la sucesión {1n}n∈N{1n}n∈N es de Cauchy, pero no es convergente).