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La pregunta pide calcular la integral de una función racional:

∫F(x) dx, donde F(x) ≡ (x³ + 1) / [(x⁴ + x³ + x² + x)]

Como lo más arduo en este tipo de integrales es factorizar el polinomio denominador, para lo cual hay que resolver ecuaciones algebraicas, a menudo de grado superior al segundo, con toda la complicación que esa operación conlleva, lo más aconsejable es intentar simplificar la fracción original antes de calcular la integral, para lo cual podríamos calcular el MCD de ambos términos, numerador y denominador; pero como también esto es bastante laborioso, intentaremos factorizar directamente el numerador y el denominador, empleando las útiles identidades algebraicas notables, en concreto en este caso, éstas dos:

xⁿ - 1 ≡ (x- 1) (xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + …+ x + 1) (válida para todo n natural, n > 1).

xⁿ + 1 ≡ (x + 1) (xⁿ⁻¹ - xⁿ⁻² + xⁿ⁻³ - …- x + 1) (el segundo paréntesis es una suma alternada),

siendo válida esta última identidad solamente para todo n natural IMPAR, n > 1.

Así pues, empleando la segunda identidad, tenemos x³ + 1 ≡ (x + 1) (x² - x + 1).

Empleando la primera, tenemos x⁴ - 1 ≡ (x - 1) (x³ + x² + x + 1).

Por tanto la fracción que aparece como integrando es:

F(x) ≡ (x³ + 1) / [x (x³ + x² + x+ 1)] ≡ [ (x + 1) (x² - x + 1) ] / [x (x³ + x² + x+ 1)] .

Multiplicando ambos términos de la fracción por el binomio (x - 1) →

F(x) ≡ [ (x + 1) (x - 1) (x² - x + 1) ] / [x (x - 1) (x³ + x² + x+ 1)] ≡
≡ [ (x² - 1) (x² - x + 1) ] / [ x (x⁴ - 1) ] ; pero x⁴ - 1 es diferencia de cuadrados, luego es igual a la suma por la diferencia → x⁴ - 1 = (x²)² - 1² ≡ (x² + 1) (x² - 1); así, la fracción F(x) será:

F(x) ≡ [ (x² - 1) (x² - x + 1) ] / [ x (x² + 1) (x² - 1) ] →

→ simplificando al dividir por el factor común (x² - 1) :

F(x) ≡ (x² - x + 1) / [ x (x² + 1) ] ; como x² + 1 no tiene raíces reales, lo dejamos como está, para no emplear números complejos, aunque en teoría también es posible hacerlo, descomponiéndolo como diferencia de cuadrados x² + 1 ≡ x² - i² ≡ (x +i) (x - i) ; no obstante, ese camino requiere mucho cuidado al manejar posteriormente las ramas del logaritmo complejo, y es más práctico mantenerse en el campo real.

Y ahora sí, vamos al método general, que consiste en descomponer la fracción racional en fracciones simples, mediante el método de los coeficientes indeterminados:

(x² - x + 1) / [ x (x² + 1) ] ≡ A / x + (Bx + C) / (x² + 1) → suprimiendo denominadores,

x² - x + 1 ≡ A (x² + 1) + x (Bx + C) → (A + B) x² + Cx + A ≡ x² - x + 1 ; identificando coeficientes:

A + B = 1 ; C = -1 ; A = 1 → B = 0, luego la descomposición es:

F(x) ≡ 1/x + (-1) / (x²+1) → ∫F(x) dx = ∫ [1/x + (-1) / (x²+1)] dx = ∫ (1/x) dx - ∫[1 / (x²+1)] dx →

como son integrales inmediatas → ∫F(x) dx = Log |x| - arctg x + C,

esto es, ∫ [ (x³ + 1) / (x⁴ + x³ + x² + x)] dx = Log |x| - arctg x + C, que es la integral pedida.