¿Por qué el número de desajustes de objetos n es aproximadamente igual a n! /e?

El problema de los “desajustes”, como los llama quien redactó la pregunta, tiene muchos nombres: el problema de los “desórdenes”, o en francés, problème des dérangements, o problème des rencontres, en castellano también se llama problema de las coincidencias o problema de los sombreros, o problema de las descolocaciones. Pero el nombre más apropiado históricamente es el del francés que al parecer lo propuso por primera vez: Problema de Montmort, por el matemático francés Pierre Rémond de Montmort, autor en el siglo XVIII de la célebre obra Essai de Analyse sur las jeux de hazards (Ensayo sobre el análisis de los juegos de azar). Se trata de averiguar exactamente cuántas permutaciones de n elementos (n entero positivo) no dejan fijo ningún elemento, es decir, ninguno coincide en su posición inicial. Por ejemplo, si n=3, las permutaciones 123, 132 no sirven porque el 1 está en el lugar 1; tampoco sirven las 213, ni 321, porque en la primera el 3 está en la posición 3 (hay coincidencia) y en la segunda el 2 está en la posición 2. Por tanto, como el nº total de permutaciones es n!, en este caso 3!= 6, las únicas “desordenaciones” son 231 y 312, y por eso la solución del problema de Montmort en el caso n=3 es M3= 2, puesto que son exactamente 2 los desórdenes posibles de 3 elementos.

Hallar la fórmula general para Mn, el nº de desórdenes de n elementos con respecto a su posición inicial es un problema clásico de Combinatoria:

Mn= n! (1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+…+(-1)^n/n!), que se puede demostrar de muchísimas maneras, algunas de ellas con agradable sabor combinatorio y otras más de tipo algebraico, analítico o conjuntista. Da mucho juego en matemática discreta y por supuesto en Combinatoria, Cálculo de probabilidades y hasta Teoría de los Determinantes. Cada admirador de este problema debería construir una demostración original y no publicada de la fórmula para Mn en función de n. También hay muchas fórmulas recursivas, como por ejemplo:

Mn= n Mn-1+ (-1)^n, empezando con los valores iniciales M1=0, M2=1. Por ejemplo, M3= 3 M2 + (-1)³=3 * 1 -1=2; M4=4 M3 + (-1)⁴= 4*2+1=9, etc.

Ahora bien, la serie exponencial es:

e^x= 1+ x/1! + x²/2! + x³/3! + …., y para x=-1, se tiene:

1/e = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! +…, de modo que:

n!/e = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! +…) y cuando n es 3 o superior la diferencia entre Mn y n!/e es menor que 1, (eso calculando un entero casi nos lo da exactamente) y prácticamente desde n=7, n=8, en adelante cada vez es mejor la aproximación. Por tanto la probabilidad de repartir n cartas (naipes) y que no haya coincidencia de lugar en ninguna respecto a su posición inicial, o de devolver n sombreros equivocándose de dueño en todos los casos, es prácticamente 1/e, con más aproximación cuanto mayor sea n: desde n= 5 ya es buena, pero ya con n= 8, sale M8/8!=14833/40320=0.367881944, cuyo inverso es 2.718263…es decir, e con sus primeros 4 decimales exactos.

Hay una aparente paradoja, que muestra cuán limitada es nuestra intuición y cuán superior es nuestro razonamiento: la probabilidad de que devolvamos 1 millón de sombreros a sus dueños equivocándonos de dueño en todos los casos, es la misma (casi la misma…) que la probabilidad de devolver solo 8 sombreros incorrectamente en todos los casos. Parece que es más fácil equivocarse en todos los sombreros cuando son 8, pero que cuando son 1 millón, ya aunque solo “sea por suerte” acertaríamos más probablemente en algún caso particular: PUES NO ES ASÍ.

Alguien poco conocedor de la historia de las matemáticas puede pensar que estas especulaciones son solo teóricas, y que quizá quienes se dedicaban a ellas eran tipos aburridos como el Marqués de Montmort, ávidos de pasatiempos del siglo XVIII, cuando no había cines ni televisión, ni música grabada, ni automóviles.

Por el contrario, el interés de muchos personajes de la alta sociedad, tanto Montmort como, por ejemplo, el Caballero de Méré (siglo XVII) y muchos miembros de la Nobleza, en Francia sobre todo, era crematístico: de todo menos desinteresado.

Uno de los juegos favoritos de Montmort era le jeu du treize, consistente en escoger un palo completo (13 cartas) de la baraja francesa (As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K), por ejemplo el de trébol, barajarlo al azar y apostar levantando la primera carta a la vez que se dice: As. Si coincide y es el As, has perdido. Si no coincide, sacas la siguiente y dices: 2, lo mismo, si coincide pierdes, pero si logras sacar las 13 cartas sin coincidencia ganas. Las preguntas que se hacían para arriesgar auténticas fortunas en ese juego de apuestas, era: ¿cuál es la proporción justa que se debe pagar al ganador con respecto a la cantidad que él ha apostado? O también, si se juega con más o menos de 13 cartas, ¿aumenta o disminuye la probabilidad de ganar?

Esta clase de preguntas sobre cartas y también dados, ruletas, etc. llevaron a Pascal, Fermat, y también a de Moivre y a Bernouilli, entre otros, a desarrollar la teoría del cálculo de probabilidades, y por supuesto, la Combinatoria.

Señor de Montmort: Si apuesta usted 25.000 francos al juego del 13, tiene una probabilidad de acertar de 1/e =0.3678, casi el 37% a favor. Luego si gana, deberían pagarle unos 43.000 francos para que la apuesta sea justa, y no esos miserables 35000. Sea juicioso, vámonos ahora antes de que lo arruinen del todo y pierda hasta su precioso carruaje, se lo digo como mayordomo leal que siempre he sido, no se fíe de la buena racha…