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Pueden obtenerse las desigualdades planteadas como consecuencia de la desigualdad de Bernouilli, que incluye algunos casos más que los que aquí se requieren.

La demostración que en este foro ofrece el compañero Carlos Zepeda es completamente correcta; sin embargo, puede darse una demostración tal vez algo más elemental y directa, sin apelar a la serie binomial ni emplear logaritmos ni desarrollos de Taylor.

La letra i (latina) que se utiliza en el enunciado recuerda demasiado a la unidad imaginaria. Hubiera sido más agradable visualmente emplear otra letra; pero como se dice i>0, y los números complejos no están ordenados, entenderemos que i es un número real positivo. Sea 0

PRIMER CASO: Supongamos que t es racional (tranquilos los lectores impacientes, porque después analizaremos el caso contrario).

Será t=m/n, donde m, n son enteros positivos tales que 1≤m(ya que m/n<1 → m). Como 1 + i > 0 , será:

(1+i)ᵗ = (1+i)ᵐ/ ⁿ = ⁿ√ (1+i)ᵐ = ⁿ√ [ (1+i)ᵐ * 1ⁿ⁻ᵐ ], pero ésta es la media geométrica de los n números positivos (1+i), (1+i), (1+i)… (1+i), 1,1,…,1, con m iguales a 1+i y con n-m iguales a 1.

Una de las más fundamentales desigualdades es la que establece que la media geométrica de varios números positivos es menor o igual que la media aritmética, y se da la igualdad cuando, y solo cuando, todos los números son iguales. Luego:

(1+i)ᵗ < [(1+i)+(1+i)+…+(1+i) + 1+1+…+1]/n = [m(1+i) + n-m]/ n = (n+m*i)/n =

= 1 + (m/n) i = 1 +t*i.

Por tanto, hemos llegado a la conclusión:

(1+i)ᵗ < 1 +t*i, (o bien 1+i*t, como dice el enunciado), lo que prueba la primera desigualdad en el caso de ser t racional.

SEGUNDO CASO: Sea t irracional. Aproximaremos t mediante una sucesión de números racionales que converja a t, estando todos los términos contenidos en el intervalo (0,1). Esto es posible siempre, es una de las más fundamentales propiedades de la recta real: todo número real es el límite de una sucesión de números racionales (incluso de infinitas sucesiones de esa clase) y naturalmente, podemos truncar la sucesión de modo que elijamos todos sus términos, a partir de uno dado, para que pertenezcan a (0,1).

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NOTA DIDÁCTICA: Por afinar más explícitamente este punto, en el caso de que a algún lector le ofrezca dudas, nos apartamos de la demostración principal y supongamos, pues, que la sucesión {pₙ} converge a t Є (0,1).

Podríamos elegir como {pₙ}, por ejemplo, la sucesión de aproximaciones decimales de t con un decimal, con dos decimales, con tres…etc. Esta sucesión de aproximaciones decimales se compone de términos racionales todos ellos y siempre converge a cualquier número real que elijamos, t en este caso.

Lím pₙ = t cuando n →∞, significa que para todo ε real >0 existe cierto entero positivo n₀ , tal que si n > n₀ entonces |pₙ-t| < ε.

Pues tomemos como ε el valor ε = (1/2) mín {t, 1-t } → dado tal ε > 0, existe cierto entero positivo n₀, tal que si n > n₀ entonces |pₙ-t| < ε → |pₙ-t| < t/2 y también |pₙ-t| < (1-t ) /2 ;

pero |A | < r equivale a la doble desigualdad -r

Luego en este caso se tendrán las cuatro desigualdades :

pₙ-t < t/2 , t-pₙ < t/2

pₙ-t < (1-t ) /2 , t-pₙ < (1-t ) /2.

De la segunda se deduce pₙ > t/2 > 0.

De la tercera se deduce pₙ < (1+ t)/2 < (1+1)/2=1, es decir, en resumen, a partir de n ≥ n₀, se tiene 0 < pₙ < 1, de modo que la sucesión {pₙ} (con n ≥ n₀) no solo converge a t sino que además todos sus términos, desde n₀ en adelante están en (0,1), que era el punto que queríamos aclarar. Por supuesto, podríamos renumerar la sucesión o tomar la subsucesión de los términos desde n₀ en adelante, los cuales llevarían los nuevos subíndices 0,1,2,3…n, …

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Siguiendo la demostración principal (SEGUNDO CASO) en el punto en que estábamos, siendo t irracional, elegimos una sucesión {pₙ} (n Є N ) contenida enteramente en (0,1) y tal que Lím pₙ = t, cuando n →∞. Siendo el exponente pₙ racional, hemos demostrado anteriormente que se tiene:

(1+i) ᵖₙ < 1 + pₙ * i para todo n Є N.

Por tanto, por ser continua la función exponencial real f(x)= (1+i)^x en el dominio (0,+∞), y por ser

Lím pₙ = t, cuando n →∞, será

(1+i)ᵗ = Lím (1+i) ᵖₙ cuando n →∞. Luego, si n →∞,

(1+i)ᵗ = Lím (1+i) ᵖₙ ≤ Lím (1 + pₙ * i ) = 1 + t*i, lo cual prueba la desigualdad requerida, pero NO estrictamente, es decir, (1+i)ᵗ ≤ 1 + t*i .

Para probar la desigualdad estricta, elegimos cierto número racional s tal que

t(1+i)ᵗ = [(1+i)ᵗ/ ˢ]ˢ . Sabemos que 0 < t/s < 1. Por lo anteriormente demostrado, se da la desigualdad amplia:

(1+i) ᵗ/ ˢ ≤ 1 + (t/s) * i, de modo que, elevando a s ambos miembros:

(1+i)ᵗ ≤ [1 + (t/s) * i]ˢ < 1 + i* s*t/s = 1 + i*t, con lo que queda demostrada la primera desigualdad en todos los casos, sea t racional o irracional.

Para la segunda desigualdad, en la que se asumen las hipótesis t>1, i>0,

tenemos que 0 < 1/t <1 → Por la primera desigualdad ya demostrada, aplicada esta vez a t*i (en vez de solo i) y a 1/t (en lugar de t) :

(1 + t*i)¹/ ᵗ < 1 + (1/t)*t*i = 1 + i . Elevando ambos miembros a la potencia t:

1 + i*t < (1 + i)ᵗ , o leída al revés,

(1 + i)ᵗ > 1 + i*t , que es la segunda desigualdad que debíamos demostrar.

Quedan probadas, por tanto, ambas desigualdades.