¿Podéis explicarme el concepto de espín?

Es una cuestión profunda complicada. El spin ‘dar vueltas’ a veces se llama también más descriptivamente momento angular intrínseco. No es muy sencillo explicar qué es, pero se puede intentar dar una respuesta por niveles (cada lector que escoja quedarse en el nivel de complejidad que considere):

• Nivel 1. El espín es el equivalente cuántico del momento angular de la mecánica clásica, cuando un cuerpo gira alrededor de sí mismo posee una inercia rotacional que lo mantiene girando si ninguna fuerza lo frena. El asunto es que a nivel microscópico parece que nada frena la “autorrotación” de las partículas y además todas las partículas elementales deben tener un valor particular del momento angular intrínseco o espín (en mecánica clásica al estar formado el cuerpo por muchas partículas separadas se puede tener cualquier valor del momento angular, por esa razón, el concepto de intrínseco no tiene un paralelo clásico claro).
• Nivel 2. En un nivel un poco más abstracto se tiene una respuesta del tipo que (por cierto muy buena respuesta la de Leonardo). Si el espacio es euclídeo (o localmente euclídeo) es posible someter imaginariamente a cualquier cuerpo a una rotación imaginaria. Al final de una rotación de 360º la partícula tendrá un estado relacionado con el original, y por tanto matemáticamente tendremos una representación del grupo de rotaciones tridimensional, llamado SO(3), sobre el conjunto de estados posibles de la partícula (ya que mecánica cuántica requiere que el estado de una partícula sea un vector de un espacio de Hilbert de dimensión infinita). Así la operación de girar imaginariamente la partícula lleva sin querer al concepto de representación del grupo de rotaciones. Pues bien según esto el espín de una partícula es el tipo de representación al que empíricamente parece adscribirse el comportamiento observado de una partícula al girarla 360º.
• Nivel 3. Clásicamente, girar 360º o 720º es equivalente a girarla 0º (no hacer nada). En mecánica cuántica importan más que las representaciones de un grupo, las representaciones proyectivas de un grupo (no entro la cuestión). El caso es que para conocer las representaciones proyectivas de un grupo, necesitas conocer las representaciones ordinarias (no-proyectivas) del grupo recubridor universal del grupo original. Freno. El grupo SO(3) de rotaciones tridimensionales, no es un grupo que o es simplemente conexo, esa complicación matemática hace que para estudiar sus representaciones proyectivas, nos veamos obligados a estudiar las representaciones ordinarias del grupo SU(2) que es el recubridor universal de SO(3). Cuando hacemos eso nos damos cuenta de que toda representación ordinaria de SU(2) es suma directa de representaciones irreductibles de SU(2). Por tanto, para saber qué tipos de partículas cuánticas pueden existir y cuáles son sus espines, nos vemos obligados a estudiar representaciones irreductibles del grupo SU(2). La sorpresa es que junto con representaciones que tienen un carácter entero (no entro en eso), existen representaciones con un carácter semientero. La cuestión es que una partícula como el electrón parece responder a una representación de carácter semientero y, por eso, tras girar 360º el electrón no se recupera el estado inicial, sino el estado inicial “invertido” aplicando otros 360º (ya van 720º) vuelvo a invertir la inversión y tengo el estado inicial. Por esa razón se dice que el electrón tiene espín 1/2.

Es interesante notar que todas las partículas elementales que forman la materia másica ordinaria parecen tener espín 1/2 mientras que las partícula cuánticas que son las responsables de las fuerzas que se ejercen las partículas elementales tienen espín 0, 1 o 2 (representaciones con carácter entero). Eso tiene consecuencias muy importantes, dadas por el teorema espín-estadística que son fundamentales (no entro en ellas).