¿Cómo se demuestra que si V es un espacio vectorial de dimensión finita y U es un subespacio de V tal que dim U = dim V entonces U = V?

Esta clase de problemas admite una solución muy técnica, llena de subíndices y fórmulas de aspecto complicado para quien empieza a estudiar álgebra lineal, pero la idea que hay detrás es sencillísima.

Intentaré exponer la demostración resaltando más las ideas que la lluvia de subíndices y sumatorios.

Si el espacio es de dimensión finita, eso implica que existe una base de ese espacio (también existe una base en los de dimensión infinita, pero ahí hay que apoyarse en el controvertido Axioma de Elección, o cualquiera equivalente, como el Lema de Zorn, en general aceptados hoy en día por casi todo el mundo, pero sospechosos porque no son constructivos, solo afirman la existencia pura, sin determinar cómo se construye aquello cuya existencia implican).

La base de V es un subconjunto finito Ɓ, constituido por vectores de V linealmente independientes y es también un sistema de generadores de todo el espacio, o sea, todo vector de V es combinación lineal de los vectores de la base Ɓ con, digamos, n vectores (n > 0), para que no sea el espacio vectorial nulo, en el cual no habría nada que demostrar porque su único subespacio es el espacio entero, y por supuesto que serían iguales U y V en ese caso trivial.

De esta manera, será Ɓ = {v₁, v₂…, vₙ} base del espacio V, y sea análogamente Ɓ' = {u₁, u₂…, uₙ} una base del subespacio U (siempre existe alguna por el teorema de existencia de la base en todo espacio vectorial, incluyendo el caso en que el espacio sea subespacio de otro más amplio). Debido a que por hipótesis es dim V = dim U,

ambas bases consideradas en el espacio y el subespacio tienen el mismo número de vectores, n.

Ahora bien, el conjunto de vectores del subespacio está contenido en el espacio entero, luego U ⊂ V ; veamos cómo probamos la inclusión recíproca,

V ⊂ U , porque eso probará finalmente que U = V, que es lo que se pide demostrar.

Supongamos que esa última inclusión no sea cierta, y entonces existirá cierto vector

v ∈ V tal que v ∉ U → v no es combinación lineal de los elementos de la base de U, esto es, de Ɓ' = {u₁, u₂…, uₙ}.

Hay un teorema utilísimo que debes saber porque es clave en el tema de espacios vectoriales, y sirve para demostrar casi todo lo que se relaciona con bases y dimensiones de espacios y subespacios de dimensión finita:

Teorema: Si un espacio vectorial E (no nulo) contiene un subespacio V generado por m vectores no nulos (donde el entero m > 0), todo subconjunto de m+1, ó más vectores de V es un sistema linealmente dependiente.

La demostración es sencilla si se utiliza el método de inducción :

Si V =

(representamos así al subespacio generado por el vector no nulo v₁), consideremos un sistema de dos vectores (no nulos) W = {u₁, u₂}, donde

u₁, u₂ ∈ V → u₁ = λ₁ v₁ ; u₂ = λ₂ v₁, con

λ₁ ≠ 0 , λ₂ ≠ 0, escalares del cuerpo de base K.

Pero ciertamente, eliminando v₁ de ambas ecuaciones, se deduce:

λ₂ u₁ + (-λ₁) u₂ = 0, siendo alguno de los coeficientes distinto de cero (en realidad son distintos de cero los dos, pero no hace falta tanto) , luego el subconjunto de vectores W = {u₁, u₂} es linealmente dependiente, como queríamos demostrar. Y por supuesto si alguno de los dos o ambos fueran cero, también sería {u₁, 0 =u₂ } un sistema linealmente dependiente, pues se tendría la combinación lineal 0u₁ + 1u₂ = 0, con al menos un coeficiente no nulo.

En general, todo subconjunto de vectores que contenga al vector nulo es un sistema linealmente dependiente, pues se puede asignar al vector cero el coeficiente 1, por ejemplo, y tomar los demás con coeficiente cero, lo que nos da una relación lineal no trivial, pues al menos un coeficiente será distinto de cero.

Luego el lema es cierto cuando es m = 1, porque si hubiera más de dos vectores, como ya dos son linealmente dependientes, tomando una combinación lineal no trivial (con algún coeficiente no nulo) de esos dos vectores, y añadiendo todos los demás con coeficiente cero, tendríamos una combinación lineal no trivial de esos "más de dos" vectores, luego el sistema sería linealmente dependiente, como queríamos demostrar.

Hipótesis de inducción : si m > 1, supongamos que el teorema es cierto para

m - 1, de modo que si un subespacio vectorial V está generado por m - 1 vectores todo subconjunto de m vectores (o más de m vectores) de V es un sistema linealmente dependiente.

Consideremos entonces un subespacio vectorial V no nulo y generado

por m vectores → V = <v₁, v₂…, vₘ>.

Hemos de probar que todo subconjunto W de m+1 o más vectores de V es un sistema linealmente dependiente.

Sea V' = <v₁, v₂…, vₘ₋₁ > el subespacio generado por los primeros m-1 vectores que generan V.

Designemos como W = {u₁, u₂…, uₘ₊₁} a un subconjunto de m + 1 vectores de V. La hipótesis de inducción nos garantiza que todo subconjunto de m (o más) vectores de V' es linealmente dependiente.

Tomemos un vector cualquiera u de V →

u = (λ₁v₁+λ₂v₂+…+λₘ₋₁vₘ₋₁) + λₘvₘ = y + kvₘ , con y ∈ V' , k = λₘ (escalar).

Así, para cada i entero, tal que 1≤ i ≤ m+1, existe y ᵢ ∈ V' , y cierto k ᵢ escalar de modo que

u ᵢ = y ᵢ + k ᵢ vₘ (*) ; de manera abreviada tenemos aquí reunidas m+1 igualdades.

(1) Si todos los escalares k ᵢ son nulos, entonces, {u ᵢ} = {y ᵢ} para (1≤ i ≤ m+1).

Por la hipótesis de inducción, todo subconjunto de m vectores de V' (y con mayor razón m+1 vectores) son un sistema linealmente dependiente (si fueran m+1 , tomaríamos la relación lineal no trivial de los primeros m vectores, añadiendo el último con coeficiente cero, en la seguridad de que alguno de los otros coeficientes es no nulo, por ser los primeros m vectores linealmente dependientes). El teorema quedaría demostrado en este caso.

(2) Si existe algún escalar k ᵢ no nulo, reordenando los vectores u ᵢ, lo cual no afecta a su dependencia o independencia lineal, podemos suponer, por ejemplo, que el distinto de cero es el último, kₘ₊₁ ≠ 0, así pues kₘ₊₁ es inversible en el cuerpo K.

Luego de uₘ₊₁ = yₘ₊₁ + kₘ₊₁ vₘ se deduce, despejando vₘ :

vₘ = kₘ₊₁⁻¹ (uₘ₊₁ - yₘ₊₁ ). Sustituyendo vₘ en las demás igualdades (*) :

u ᵢ = y ᵢ + k ᵢ vₘ → u ᵢ = y ᵢ + k ᵢ * kₘ₊₁⁻¹ (uₘ₊₁ - yₘ₊₁ ) para 1≤ i ≤ m.

Por tanto, u ᵢ - k ᵢ * kₘ₊₁⁻¹ uₘ₊₁ = y ᵢ - k ᵢ * kₘ₊₁⁻¹ yₘ₊₁ ; pero todos los vectores de los segundos miembros de estas igualdades pertenecen a V' , así como sus iguales de los primeros miembros, de manera que por la hipótesis de inducción, este subconjunto de m vectores = {u ᵢ - k ᵢ * kₘ₊₁⁻¹ uₘ₊₁ } (1≤ i ≤ m) tiene que constituir un sistema linealmente dependiente, luego existirán escalares c₁, c₂, …, cₘ , no todos nulos, tales que:

c₁ (u₁ - k₁ * kₘ₊₁⁻¹ uₘ₊₁) + c₂ (u₂ - k₂ * kₘ₊₁⁻¹ uₘ₊₁) +…+

+cₘ(uₘ - kₘ * kₘ₊₁⁻¹ uₘ₊₁) = 0 ;

definiendo cₘ₊₁ = - kₘ₊₁⁻¹(c₁k₁+c₂k₂…+cₘkₘ), deducimos que:

c₁ u₁ + c₂ u₂ +…+cₘ uₘ + cₘ₊₁ uₘ₊₁ = 0, donde no todos los escalares c₁, c₂, …, cₘ, cₘ₊₁ son nulos, con lo cual queda probado que el subconjunto

W = {u₁, u₂…, uₘ₊₁} es un sistema linealmente dependiente, como queríamos demostrar. Si hubiera más de m+1 vectores, podríamos tomar una relación lineal no trivial (con algún coeficiente no nulo) entre los primeros m+1 vectores y añadirle el resto de los vectores todos con coeficientes iguales cero, y al menos entre los primeros m+1 estaremos seguros de que hay algún coeficiente no nulo.

Queda probado el teorema.

…………………………………………………………………………………………..

Volviendo al principio, deseábamos demostrar la inclusión V ⊂ U, para lo cual, razonando por reducción al absurdo, habíamos supuesto que existía cierto v ∈ V tal que v ∉ U → o dicho de otra manera,

→ v no es combinación lineal de los elementos de la base Ɓ' = {u₁, u₂…, uₙ} del subespacio vectorial U.

U es el subespacio de V generado por los n vectores de su base Ɓ' , los vectores u₁, u₂…, uₙ, que por formar base, deben ser linealmente independientes (una base de un espacio vectorial es, por definición, un sistema de vectores linealmente independientes y un sistema de generadores del espacio)

esto es, U = ; si al sistema de vectores de la base

Ɓ' = {u₁, u₂…, uₙ} le añadimos el vector v, tendremos el sistema de vectores

W = {u₁, u₂…, uₙ, v } ⊂ V

Pero como el espacio V está generado por los n vectores de su base,

v₁, v₂…, vₙ (que además de constituir un sistema generador, son linealmente independientes), por el teorema fundamental que hemos probado anteriormente, todo subconjunto de V con n+1 vectores es un sistema linealmente dependiente, luego W es un sistema de vectores linealmente dependiente.

Así pues, existen escalares no todos nulos, λ₁, λ₂, …, λₙ, λₙ₊₁ tales que:

λ₁u₁ + λ₂u₂+ …+ λₙuₙ + λₙ₊₁ v = 0 ; supongamos que pudiera ser λₙ₊₁ ≠ 0 →

existiría λₙ₊₁⁻¹ y podríamos despejar v en función de u₁, u₂…, uₙ :

v = - λₙ₊₁⁻¹ (λ₁u₁ + λ₂u₂+ …+ λₙuₙ) = β₁u₁ + β₂u₂ + … + βₙuₙ, donde

β₁ = - λₙ₊₁⁻¹ * λ₁ ; β₂ = - λₙ₊₁⁻¹ * λ₂ ; … ; βₙ = - λₙ₊₁⁻¹ * λₙ.

De este modo, v es combinación lineal de los vectores u₁, u₂…, uₙ , esto es, de los vectores de la base Ɓ' , que era una base del subespacio U ; de manera que forzosamente sería v ∈ U , en flagrante contradicción con la suposición de que v ∉ U → la contradicción proviene de haber supuesto que era λₙ₊₁ ≠ 0, luego deberá ser λₙ₊₁ = 0, con lo cual será:

λ₁u₁ + λ₂u₂+ …+ λₙuₙ + λₙ₊₁ v = 0, con no todos los coeficientes nulos, pero λₙ₊₁ = 0 , así que λ₁u₁ + λ₂u₂+ …+ λₙuₙ = 0, con no todos los coeficientes nulos…¡OTRA CONTRADICCIÓN! pues entonces los vectores u₁, u₂…, uₙ no serían linealmente independientes, y no podrían constituir una base.

Esta vez, la contradicción proviene de suponer que existía

cierto v ∈ V tal que v ∉ U ; como esto no es posible, todo vector de V debe pertenecer a U, de modo que V ⊂ U, como queríamos demostrar, lo cual, junto con la inclusión recíproca y evidente, U ⊂V (todo vector de un subespacio pertenece al espacio entero, por definición de subespacio) demuestra que efectivamente, U = V, siendo éste el objeto de la pregunta; por tanto, queda demostrado que:

Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y U es un subespacio de la misma dimensión que V, es decir, dim V = dim U, entonces U = V.