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Se tiene la integral:

I=∫dxsinnxsinmx.I=∫dxsin⁡nxsin⁡mx.

Tomando en cuenta que

sinmx=u−u−12i,en dondeu=eimx,sin⁡mx=u−u−12i,en dondeu=eimx,

la integral se puede expresar como

I=1im∫duuq−u−qu2−1,conq=n/m.I=1im∫duuq−u−qu2−1,conq=n/m.

La expansión en serie del denominador es trivial, por lo que

I=−1im∑k=0∞∫du(uq−u−q)u2k.I=−1im∑k=0∞∫du(uq−u−q)u2k.

Integrando

I=−1im∑k=0∞u1+q+2k1+q+2k−u1−q+2k1−q+2k.I=−1im∑k=0∞u1+q+2k1+q+2k−u1−q+2k1−q+2k.

Reconociendo la función trascendente de Hurwitz--Lerch

Φ(z,s,α)=∑k=0∞zk(k+α)s,Φ(z,s,α)=∑k=0∞zk(k+α)s,

se tiene que

I=−12im{u1+qΦ(u2,1,1+q2)−u1−qΦ(u2,1,1−q2)}.I=−12im{u1+qΦ(u2,1,1+q2)−u1−qΦ(u2,1,1−q2)}.

Si uno desea escribir la solución en términos de La Función Hipergeométrica (de Gauß)

2F1(a,b;c;z)=∑k=0∞(a)k(b)k(c)kzkk!,donde(p)k=Γ(p+k)Γ(p),2F1(a,b;c;z)=∑k=0∞(a)k(b)k(c)kzkk!,donde(p)k=Γ(p+k)Γ(p),

es necesario darse cuenta que la expresión

∑k=0∞u1+q+2k1+q+2k=∑k=0∞u1+q1+q⋅1+q2k!1+q2+k⋅u2kk!=∑k=0∞u1+q1+q⋅(1+q2)k(1)k(1+1+q2)k⋅(u2)kk!=u1+q1+q⋅2F1(1,1+q2,1+1+q2;u2),∑k=0∞u1+q+2k1+q+2k=∑k=0∞u1+q1+q⋅1+q2k!1+q2+k⋅u2kk!=∑k=0∞u1+q1+q⋅(1+q2)k(1)k(1+1+q2)k⋅(u2)kk!=u1+q1+q⋅2F1(1,1+q2,1+1+q2;u2),

en donde se ha usado el hecho de que

(1)k=k!,&pp+k=(p)k(1+p)k.(1)k=k!,&pp+k=(p)k(1+p)k.

Y similar para

∑k=0∞u1−q+2k1−q+2k=u1−q1−q⋅2F1(1,1−q2,1+1−q2;u2).∑k=0∞u1−q+2k1−q+2k=u1−q1−q⋅2F1(1,1−q2,1+1−q2;u2).

Entonces la solución queda como

I=im{u1+q1+q⋅2F1(1,1+q2;1+1+q2;u2)−u1−q1−q⋅2F1(1,1−q2;1+1−q2;u2)}.I=im{u1+q1+q⋅2F1(1,1+q2;1+1+q2;u2)−u1−q1−q⋅2F1(1,1−q2;1+1−q2;u2)}.

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