¿Cuál es la diferencia entre 'client' y 'customer' en inglés?

Son sinónimos pero no, y por desgracia la diferencia depende del contexto.

En ventas de servicios se suele hablar más de clients salvo que intervenga cierto programa informático que llama clients a lo que cualquier otro programa llamaría servers: en ese programa se crean fichas de customer y en las empresas que lo ponen y mantienen se habla de customers, porque si dices client se entiende que hablas de un ordenador muy gordo. Entre los hispanohablantes que trabajamos con ese programa, uno de los indicadores de que alguien trabajó para esa empresa o para Accenture es que dicen "cliente" al hablar de los ordenadores; el resto decimos "servidor" y nos importa tres lo que ponga la pantalla.

En ventas de productos físicos se suele hablar más de customers. Y luego hay quien distingue entre los dos:

We don't want clients, we want customers: no queremos gente que compre lo que vendemos una vez, queremos gente que nos lo compre de manera habitual.