¿Cuál es la diferencia entre álgebra y álgebra lineal?

La palabra álgebra es polisémica, y puede crear alguna confusión.

Álgebra significa al menos (1) tres cosas

• 1. La parte de las matemáticas que estudia las estructuras matemáticas, esto es, los conjuntos dotados de operaciones internas y externas (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, retículos, etc), y las aplicaciones (homomorfismos, automorfismos, endomorfismos, isomorfismos) entre ellos.
• 2. Adicionalmente un álgebra es una de tales estructuras, concretamente un espacio vectorial en el que además hay definida una operación interna producto.
• 3. Además de estas dos definiciones, para andar por casa se entiende como álgebra el uso de letras en matemáticas para referirse a números cualesquiera. Así, 2(a−b)=2a−2b2(a−b)=2a−2b es una expresión algebraica en este tercer sentido.

Pues bien, álgebra lineal es una parte minúscula del álgebra en el primer sentido: es decir, es el estudio de una estructura concreta: la de Espacio vectorial, y de las aplicaciones lineales entre espacios Vectoriales (homomorfismos, endomorfismos, automorfismos, etc). Dentro de este estudio aparecen de forma natural las matrices, que a su vez forman espacios vectoriales sobre un cuerpo de escalares, real o complejo.

(1) Digo al menos, porque existen multitud de conceptos matemáticos con la palabra álgebra en su nombre. Son siempre conjuntos de objetos en los que se definen ciertas operaciones con ciertas propiedades específicas, por ejemplo el álgebra de Boole, el álgebra de Hoft, el álgebra de Banach, el álgebra de Clifford, las σ−σ− álgebras, etc, etc.