¿Cuál es la diferencia entre álgebra y aritmética?

Está pregunta tiene varios niveles de respuesta.

Nivel básico. La aritmética consiste en la manipulación de números con las operaciones básicas mientras el álgebra consiste en el manejo de cantidades inconcretas, representadas mediante letras. Así, 4×5=204×5=20 es una expresión aritmética, y (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2 es una expresión algebraica.

Nivel superior. Aritmética es lo mismo que Teoría de números, es decir: el estudio de las propiedades de los números, en especial de los números enteros. Por ejemplo, la distribución de los números primos. Es una de las ramas más difíciles de la matemática. Álgebra es el estudio de las estructuras algebraicas: conjuntos sobre los que están definidas operaciones internas y/o externas: grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, etc; y aplicaciones entre ellas (isomorfismos, homomorfismos, endomorfismos, etc) . Adicionalmente álgebra es una de tales estructuras; la de un espacio vectorial en el que hay además definida una operación interna producto.