¿Cuál es la importancia de la termodinámica en los agujeros negros?

Su importancia es fundamental, y tiene que ver con la forma en que podemos extraer energía de un agujero negro.

Existen dos fenómenos universales que poco a poco la física ha ido uniendo: la gravedad y la radiación térmica. Todos los objetos "gravitan" y, también, debido a su constitución microscópica, emiten radiación térmica. La clave de esta unificación son los agujeros negros. Y esa unificación implica que, quizá, estos pueden devolver toda su energía al universo mediante una gran explosión de rayos gamma.

Cómo se llegó a esta conclusión es una de las historias más convulsas e increíbles de la historia de la ciencia. El camino es un poco largo y sinuoso, pero vale la pena recorrerlo, y la termodinámica está en el centro de todo.

DOS POR UNO…

Todo comenzó en Inglaterra, en plena Epoca Dorada de la relatividad general.

En 1969, el gran físico británico Roger Penrose introdujo su famosa Conjetura de Censura Cósmica al afirmar, hacia el final de su clásico ensayo [1], que

"Se nos presenta pues la que es, quizá, la pregunta sin respuesta fundamental de la teoría relativista del colapso gravitatorio, es decir: ¿existe un censor cósmico que prohibe la aparición de singularidades desnudas, vistiendo a cada una con un horizonte de eventos absoluto?"

Nadie ha podido responder esa interrogante en lo afirmativo.

El colapso gravitatorio es el proceso de implosión estelar que conduce a la formación de un agujero negro, un objeto con un campo de gravedad tan potente que ni siquiera la luz puede escapar de sus entrañas. De ahí que sea totalmente oscuro, clásicamente hablando. A su paso, este objeto produce una superficie que lo cubre, llamada horizonte de eventos, y una singularidad en su interior.

Las singularidades son anomalías del espacio-tiempo, causadas por la compresión dentro un volumen infinitamente pequeño de enormes cantidades de materia. Así, una vez agotado el combustible nuclear, durante el colapso gravitatorio de una estrella con diez veces la masa del sol, por ejemplo, toda sería comprimida en un punto . en el centro del agujero negro, que es el producto final de la catastrófica implosión. Es un total desafío a las leyes de la física conocidas.

La definición popular que caracteriza a las singularidades como rupturas del espacio-tiempo no es del todo correcta. Matemáticamente su existencia se define como un punto más allá del cual la trayectoria de una partícula no puede ser continuada. En otras palabras, es el final del camino. Aunque su planteamiento matemático preciso sigue siendo un reto técnico, esa es hasta ahora la definición más aceptada. Si un astronauta cae en un agujero negro, la singularidad no sólo es el final de su vida, es el final del espacio-tiempo. Más allá de esta descripción, las características de estos fenómenos son desconocidas. Los teoremas son de existencia: nada nos dicen sobre la naturaleza de las singularidades.

Sir Roger Penrose

Penrose era entonces un brillante matemático de la Universidad de Oxford. Fue pionero en la aplicación de métodos topológicos a la relatividad general, inventando nuevas técnicas globales para atacar de forma elegante y profunda espinosos problemas. La palabra "globales" implica que ya no consideramos la geometría de un espacio solamente alrededor de un punto, sino que es estudiado en su totalidad.

Con estas herramientas, demostró, en 1965, y en apenas dos páginas, que la formación de singularidades era inevitable durante el colapso gravitatorio de una estrella, que la convierte en un agujero negro. Es un tour de force que evita la compleja maquinaria matemática de la teoría de Einstein, hasta ese entonces vestida en coordenadas locales. De esta forma, dejó cerrado el tema controversial de las singularidades en la astronomía (Einstein, y otros grandes físicos, se negaba a aceptarlas), así como boquiabiertos a todos los expertos que, durante décadas, pensaron que eran consecuencia de simplificar los cálculos, usando modelos estelares con simetría esférica.

La propuesta de Penrose es que las singularidades, debido a su desconocida e impredecible naturaleza, deben ser siempre invisibles a nuestros ojos, ocultas detrás de un horizonte de eventos, como el que rodea a un agujero negro de Schwarzschild, esférico y sin rotación. Está descrito por la métrica

ds2=−(1−rsr)dt2+11−rsrdr2+r2(dθ2+sin2θdϕ2),ds2=−(1−rsr)dt2+11−rsrdr2+r2(dθ2+sin2θdϕ2),

donde

rs=2GMc2,rs=2GMc2,

es el radio de Schwarzschild, que marca el horizonte de eventos: la entrada al mundo de no retorno. En unidades naturales, c=G=1 y

rs=2M.rs=2M.

La Conjetura de Censura Cósmica Débil, como hoy se conoce la versión original, sigue siendo el problema abierto más importante de la relatividad general. De ser falsa, echaría por tierra casi todo lo que se ha demostrado teóricamente sobre agujeros negros, pues detrás de ella se esconde el principio sagrado de causalidad: si una singularidad sale de su jaula, fenómenos que la naturaleza prohibe pueden hacerse posibles, como los viajes al pasado.

Pero el artículo de Penrose sobre censura cósmica explora un segundo fenómeno, no menos importante, que dejaría también una huella indeleble en la física. En el ensayo, el físico se pregunta si es posible extraer energía de un agujero negro. No era una interrogante caprichosa pues minar un agujero negro podría llegar a anular el horizonte de eventos, dejando a la intemperie su singularidad central, violando así la censura y desatando el caos en el universo.

Penrose contaba con un laboratorio teórico perfecto para llevar a cabo su ensayo: un agujero negro con rotación. Pocos se imaginaban las consecuencias de largo alcance del experimento imaginario del físico británico, hoy conocido como proceso Penrose. Conduciría a un efecto dominó que en pocos años transformaría el panorama de la física moderna, creando una nueva rama de la ciencia a su paso.

THE LORD OF THE RING SINGULARITY

Nueva Zelanda es conocida en el imaginario popular por las películas que el director Peter Jackson extrajo de las entrañas de la famosa trilogía de R. R. Tolkien, filmadas en la bella tierra natal del cineasta. Pero esa nación ha dado también a grandes científicos, como Ernest Rutherford, el precursor del modelo atómico moderno; Maurice Wilkins, quien hizo importantes aportes a la estructura de la molécula del ADN; y Roy Kerr, el padre de los agujeros negros con rotación.

Roy Kerr

En su juventud, Kerr fue reconocido por su gran talento matemático. Pero su afición al boxeo era tan grande que sus profesores pensaban que lo perderían de un knockout fulminante, en uno de esos encuentros sin sentido. Al final, la ciencia pudo más que el ring.

Kerr obtuvo su doctorado en 1959, en la Universidad de Cambridge. Pero cuando hace su famoso descubrimiento, en 1963, se encontraba en la universidad de Texas, y trabajaba también para el complejo militar norteamericano. Muchos habían intentado, en vano, encontrar una solución exacta de las ecuaciones de Einstein que representara la métrica externa a una estrella con rotación, usando métodos tradicionales.

El neozelandés, versado en las nuevas técnicas matemáticas que comenzaban a invadir la relatividad general, atacó el problema desde otro ángulo. En el camino hubo sus sinsabores. En medio de su búsqueda cuenta que Teddy Newman, un prominente relativista, había demostrada que esa solución no podía existir [2]. Cuando Kerr leyó el artículo de Newman se dio cuenta de que había un error: lo que realmente implicaba era que sí existía. Convencido y febril, luego de intensos días de cálculos, halló la solución que inmortalizó su nombre [3].

Más tarde, Robert Boyer y Richard Lindquist, descubrieron que no se trataba de una estrella, sino de un agujero negro con rotación, al reinterpretar el hallazgo de Kerr en nuevas coordenadas, que extendían analíticamente la métrica al máximo, y dejaban al descubierto también su fantástica naturaleza interna. Lamentablemente, Boyer tuvo un trágico final siendo una de las víctimas del tirador Charles Whitman, quien desde la torre del edificio principal de la Universidad de Texas, en Austin, asesinó a 16 personas, en 1965. No llegó a conocer el papel protagónico que sus coordenadas tendrían en la astrofísica moderna.

La métrica de Kerr, en las coordenadas de Boyer-Lynquist está dada por

ds2=−(1−2GMrc2Σ)c2dt2−4aGMrsin2θc3Σcdtdϕ+ΣΔdr2+Σdθ2+ds2=−(1−2GMrc2Σ)c2dt2−4aGMrsin2⁡θc3Σcdtdϕ+ΣΔdr2+Σdθ2+

(r2+a2c2+2a2Mrsin2θc4Σ)sin2θdϕ2,(r2+a2c2+2a2Mrsin2⁡θc4Σ)sin2⁡θdϕ2,

donde,

Σ=r2+a2c2cos2θ⋅Σ=r2+a2c2cos2⁡θ⋅

Δ=r2−2GMrc2+a2c2⋅Δ=r2−2GMrc2+a2c2⋅

a=JM⋅a=JM⋅

JJ es el momento angular y MM la masa del agujero. Si el parámetro aa, momento angular por unidad de masa, se anula, esta ecuación se reduce a la de Schwarzschild. Es, pues, una generalización de esta última, aunque sin carga eléctrica.

Hay agujeros con rotación y carga eléctrica, QQ, llamados Kerr-Newman. Estos agujeros negros más generales cumplen una extraordinaria desigualdad,

M2≥a2+Q2⋅M2≥a2+Q2⋅

En el caso de igualdad, el agujero se llama extremo. Mientras la desigualdad se cumpla, estamos ante la presencia de un agujero negro. Y es que todos los cálculos teóricos hasta ahora indican que la desigualdad no puede invertirse; es decir, no es posible hacer que

M2<a2+Q2M2,

por ningún mecanismo conocido. Esto implica que desaparecería el horizonte de eventos y el interior se haría visible: estaríamos ante una singularidad desnuda. Es un hecho teórico citado como prueba, aunque no definitiva, de que la conjetura de censura cósmica es posiblemente cierta. Algún mecanismo desconocido impide que un agujero negro sea destruido.

Si Q=0Q=0, tenemos el agujero de Kerr y se cumple

M2≥a2⋅M2≥a2⋅

El Nobel Subrahmanyan Chandrasekhar, uno de las más grandes astrofísicos del siglo XX dijo, sobre el hallazgo del Kerr [4],

"A lo largo de mi carrera científica, que se extiende por más de 45 años, la experiencia más demoledora ha sido el reconocimiento de que una solución exacta de las ecuaciones de Einstein de la relatividad general, descubierta por el matemático neozelandés, Roy Kerr, provee la representación absoluta de un sin número de agujeros negros masivos que pueblan el universo. Este estremecimiento ante lo bello, este increíble hecho de que un descubrimiento motivado por la búsqueda de la belleza en la matemática deba encontrar su réplica exacta en la Naturaleza, me lleva a decir que la belleza es aquello a lo que la mente humana responde en lo más hondo ."

Como las estrellas poseen rotación, se asume que cuando se convierten en agujeros negros, la mayoría es del tipo Kerr. En consecuencia, cualquier característica que los defina, define a la mayor parte de los agujeros negros que existen en el universo.

En el centro del agujero de Kerr habita una singularidad en forma de anillo. También ostenta dos horizontes de eventos, uno externo y otro interno. Pero, también importante, posee una ergoesfera, que es la región entre la superficie más externa del agujero negro (el límite estático) y el horizonte de eventos externo.

La ubicación del límite estático esta dada por la ecuación

r=M+M2−a2cos2θ−−−−−−−−−−−√.r=M+M2−a2cos2θ.

Advertimos que si

a=0,a=0,

r=2M,r=2M,

y el límite estático y el horizonte de eventos coinciden para el agujero negro de Schwarzschild. Por tanto, no tiene ergosfera.

Figura 1 - Agujero negro de Kerr. Nótese como la rotación hace del agujero negro una especie de m&m gigante. Mientras más rápido rota, más se achata, para conservar el momento angular (por eso también las patinadoras en hielo deben "recogerse" a medida que aumentan su rotación).

Otra simple manipulación algebraica nos permite obtener la relación entre la ergosfera y el límite estático. En los polos del agujero

θ=0,θ=0,

y la ecuación del límite estático se convierte en

r=M+M2−a2−−−−−−−√.r=M+M2−a2.

Es decir, allí el límite estático y el horizonte de eventos coinciden.

La ergosfera es una región con propiedades fantásticas, dignas de una novela de ciencia ficción. Allí existen órbitas que dotan de energía negativa a las partículas que las toman, vistas por un observador distante. Allí, también, ningún objeto puede permanecer estacionario, debido al fenómeno de arrastre de marcos de referencia: el propio espacio-tiempo rota, y cualquier partícula será arrastrada por una corriente espacio-temporal, producto de esa rotación. Lo mismo sucede en el límite estático (de ahí el nombre), porque nada puede permanecer en reposo allí.

El análisis de trayectorias de partículas de prueba indica que estas pueden entrar a la ergosfera, con su flujo espacio-temporal indetenible, y volver a salir pues no han cruzado un horizonte de eventos. Por esa razón, Penrose se concentró en ella para llevar a cabo su artilugio.

EXTRATERRESTRES Y UN FAMOSO GEDANKEN EXPERIMENT

Penrose se imagina una civilización tecnológicamente avanzada que puede construir una estructura alrededor de un agujero negro de Kerr, con el fin de sustraer su energía. Por supuesto, Penrose no lo dice, pero se refiere a una esfera de Dyson, indicio de que cualquier idea de la ciencia, por descabellada que parezca, puede conducir a alguien por un camino pródigo en tesoros jamás vistos.

¿Cómo podrían estos extraterrestres minar un agujero negro con rotación ?

Fig. 2 - La esfera de Dyson, imaginada por Penrose.

Penrose se imagina que si estos seres [1],

"hacen descender lentamente una masa, usando una cuerda muy ligera, inquebrantable e inextensible, hasta que alcanza L, podrán recuperar, en S, el contenido energético completo de esa masa. Si la masa se deja caer, a medica que se acerca a L, entonces simplemente habrán intercambiado la masa por su contenido energético."

Más adelante, el físico nos dice (Ver Figura 1):

"Pero pueden hacerlo mejor todavía. Pueden construir otra estructuraS∗S∗ que rote, hasta cierto punto, con el agujero negro. El proceso de descenso es continuado, usando S∗,S∗, más allá de L. Finalmente la masa se deja caer a través de H (el horizonte externo), pero de tal manera que su contenido energético, medido desde S, es negativo! Así, los habitantes de S pueden, en efecto, hacer bajar masas hacia el agujero negro de tal forma que obtienen más energía que el contenido energético de la masa. Así, extraen algo del contenido energético del mismo "agujero negro", en el proceso."

Naturalmente, los extraterrestres tendrían que escoger una de las trayectorias de energía negativa que habitan la ergosfera.

En 1971, Penrose, junto a R. M. Floyd, publicó un análisis detallado del proceso [5], usando partículas de prueba que entran a la ergosfera y se fragmentan. Una sale con más energía que la inicial, y la otra atraviesa el horizonte de eventos, con energía negativa. El agujero, así, pierde energía de rotación.

Convencieron a la comunidad científica de que matemáticamente era un cálculo robusto y, por tanto, el proceso de extracción de energía debía tomarse seriamente.

De este análisis riguroso surgió algo más, como nos dicen los autores,

"De hecho, a partir de consideraciones generales se puede inferir que debe haber una tendencia natural del área del horizonte de eventos a aumentar con el tiempo en situaciones no estacionarias."

Era el primer indicio de que el horizonte de eventos tiende a aumentar en procesos dinámicos.

Figura 3 - El proceso Penrose, visto por la imaginación de Wheeler y Ruffini, en su popular artículo para la revista Physics Today, de 1971.

Más adelante, John Wheeler y su estudiante, Remo Ruffini, publicaron uno de los primeros artículos de divulgación [6], que acercó los agujeros negros, y el proceso Penrose, a las masas. De hecho, es allí que se popularizó la palabra ergosfera, basándose en las propiedades energéticas descubiertas por Penrose, pues ergon (ἔργον) significa trabajo, en griego.

John Wheeler

Wheeler, a quien también se le atribuye el término agujero negro, fue un gran físico que hizo de la Universidad de Princeton un centro mundial de estudio de estos fenómenos. Lo cierto es que había en esa época tres lugares donde estaba la verdadera movida relativista: Cambridge, Moscú y Princeton. En ellos se llevó a cabo el apogeo y la caída de la Epoca Dorada de la relatividad general.

Para entender el proceso Penrose, disparamos una partícula con energía

E0E0

hacia la ergosfera del agujero negro (Figura 4).

En la ergosfera ésta se divide en dos fragmentos, con energías E1E1 yy E2E2, respectivamente, mediante un mecanismo explosivo.

Tenemos que, según la ley de conservación de la energía

E0=E1+E2.E0=E1+E2.

Hacemos que la que tiene energía E2E2 tome una trayectoria de energía negativa (E2<0E2<0), y atraviese el horizonte de eventos externo. La otra, con energía E1E1, sale hacia el exterior.

El resultado es que

E0+E2=E1,E0+E2=E1,

por lo que

E1>E0.E1>E0.

Se ha sacado más energía de la que entró.

Figura 4. El Proceso Penrose deconstruido.

Este proceso no solo permite extraer más energía de la inicial, también causa una reducción en la rotación del agujero negro. Efectivamente, estamos extrayendo energía de rotación. Fue el primer indicio de que se podía usar algún tipo de energía de un agujero negro para realizar trabajo.

Pero, ¿cuánta energía podemos robarle a un agujero negro con este proceso?

En su ensayo, Penrose y Floyd dejaron la cuestión abierta, y le tocaría a un joven prodigio del grupo de Wheeler averiguarlo.

NO PUEDES REDUCIR LA MASA IRREDUCTIBLE

Demetrios Christodolou es un genio. Nació en Atenas, en 1951. Desde muy temprano desplegó sus talentos para la física y la matemática. Así, a los 19 años logró obtener su doctorado en Princeton, de la mano de Wheeler.

De izquierda a derecha: Demetrios Christodolou, Bryce DeWitt, Kip Thorne y Yuval Ne'eman, durante la Epoca Dorada de la relatividad general. Les Hauches, 1972.

A esa edad, en su tesis de 1971, expuso un descubrimiento que acercaría los agujeros negros a la termodinámica, abriendo las puertas a un nuevo paradigma en la física.

Estudiando trayectorias de partículas en la métrica de Kerr [7], Christodolou encontró que existen límites a la extracción de energía de un agujero negro, mediante el proceso Penrose. Descubrió lo que se llama la masa irreductible.

La masa irreductible implica que se ha usado energía, y esa energía gastada es a expensas del agujero negro. Es la expresión de que a medida que la extraes queda un remanente inerte, que no se puede ya usar para realizar trabajo. De manera que a medida que gastas energía esta energía inútil sólo crece con el tiempo, o no cambia. Naturalmente, todo esto huele a termodinámica. Y en efecto, para lograr este resultado el físico utilizó los conceptos de transformaciones reversibles e irreversibles.

Como nos dicen, en La Biblia, Charles Misner, Kip Thorne y John Wheeler [8]:

"…ninguna transformación producida en un agujero negro, por la adición de pequeños trozos de materia, puede jamás reducir la masa irreductible."

Para el agujero negro de Kerr, está dada por

Mir=12[M+(M2−a2)+a2]12.Mir=12[M+(M2−a2)+a2]12.

Su propiedad fundamental es que no puede disminuir

δMir≥0.δMir≥0.

FIGURA 5 - Distintos procesos de fragmentación en la ergosfera, que condujeron al descubrimiento de la masa irreductible.

Christodolou, además, descubrió que existe una estrecha relación entre el área del agujero y su masa irreductible. En efecto, el área de un agujero negro se puede escribir como

A=16πMir,A=16πMir,

lo que implica que

Mir=A16π−−−√.Mir=A16π.

De manera que

δA≥0.δA≥0.

Al aumentar la masa irreductible, aumenta también el área. Ninguna de las dos puede disminuir.

Aunque se le atribuye a Hawking, el mismo año, el descubrimiento de que el área del horizonte de eventos de una agujero negro no pude disminuir, lo cierto es que, como vemos, ya Penrose, Floyd y Christodolou también habían llegado a la misma conclusión, por otras vías.

Poco después, Christodolou y Remo Ruffini [9], extendieron la idea de masa irreductible a agujeros negros con carga eléctrica, y obtienen una fórmula para la masa-energía en términos de ésta, su momento angular y su carga eléctrica

M2=(Mir+Q24Mir)2+J24M2ir⋅M2=(Mir+Q24Mir)2+J24Mir2⋅

Deducen que pueden extraer el 50% de la energía de un agujero extremo con carga eléctrica; y el 29% para uno en rotación, sin carga.

Concluyen su ensayo con estas palabras:

"Los agujeros negros, pues, parecen ser los reservorios de energía más grandes del universo."

Si esto era cierto, ¿de qué otras maneras podía extraerse energía de un agujero negro?

LAS 100 PUERTAS DE TEBAS

Stephen Hawking se integró, en 1962, al grupo de relativistas liderado por Dennis Sciama, en Cambridge. Allí obtuvo su doctorado, que versa sobre el problema de las singularidades en la cosmología. Así como Penrose resolvió en enigma para los agujeros negros, Hawking utilizó las mismas técnicas, y otras que él inventó, para dejar bien claro que los más aceptados modelos cosmológicos relativistas contienen singularidades en sus orígenes.

Cuando dirige sus esfuerzos hacia los agujeros negros, a finales de los 60, ya tenía estatus de leyenda debido a estos trabajos. Pero es en la teoría de los agujeros negros donde deja su huella indeleble.

Hacia 1971, debido a su condición (la enfermedad de Lou Gehrig), ya no podía caminar y se le hacía difícil incluso prepararse para ir a la cama. No podía escribir, pero las técnicas que él y Penrose habían desarrollado para demostrar sus teoremas sobre singularidades, lo habían equipado con herramientas que le permitían usar diagramas, en lugar de fórmulas.

Una noche de noviembre aquel año de 1971, según cuenta en Breve historia del tiempo [10], mientras se disponía a dormir, ejercicio que, según él, le tomaba tiempo y le permitía pensar, llegó a una sorprendente conclusión. Armó imágenes en su mente y pudo ver con claridad que el área de un agujero negro, en cualquier proceso, no puede disminuir, solo puede aumentar o permanecer constante. Aquella noche, debido a la emoción, le dio trabajo conciliar el sueño.

Steven Hawking

Al día siguiente, puso a prueba su argumento matemáticamente y vio que funcionaría. En poco tiempo había demostrado uno de sus más famosos resultados, el teorema sobre el área de un agujero negro:

δA≥0.δA≥0.

Lo cierto es que ya no había dudas, todas las puertas conducían al mismo lugar: el área de un agujero negro se comportaba de manera muy especial, manteniéndose constante o aumentando durante cualquier proceso, pero nunca disminuyendo.

Ya que para un agujero negro de Schwarszchild, la ergosfera y horizonte de eventos coinciden, desde el punto de vista del proceso Penrose, es inerte: no se puede extraer energía de él.

Pero poco después Hawking utilizó su teorema para calcular la cantidad de energía que pueden emitir dos agujeros negros de Schwarzschild que colisionan [11]. Calculó que dos agujeros de la misma masa, M,M, al fundirse, emiten energía en forma de ondas gravitatorias. La cantidad no puede ser superior a

(2−2–√)M.(2−2)M.

Así que aunque a un solo hoyo negro de Schwarzschild no se le puede extraer energía, en procesos dinámicos sí pueden ser minados.

Hawking también calculó colisiones entre varios agujeros negros y encontró que el área final era mayor que las áreas individuales de cada agujero, avalando su teorema.

Por ejemplo, si dos agujeros negros se funden, el área final es mayor que la suma de las áreas de los horizonte de eventos individuales.

Figura 6. Dos agujeros negros se funden para formar uno de mayor área. Podemos apreciar los rudimentos de las técnicas globales usadas, con símbolos matemáticos que difieren de los usados por Christodolou, por ejemplo.

Al final, Hawking especializa su análisis, utilizando su teorema, para un solo agujero negro en rotación que captura una partícula, u onda.

Sean M1M1 la masa inicial del agujero negro y M2M2 la masa final; y sean a1a1 y a2a2 los momentos angulares inicial y final, respectivamente. Si el agujero termina sin rotación final,

a2=0,a2=0,

Hawking concluye que

2M22>M1[M1+(M21−a21)12].2M22>M1[M1+(M12−a12)12].

El agujero negro pierde energía rotacional, lo que Hawking interpreta como un ejemplo más del proceso Penrose. Es decir, surge como un acaso particular de su teorema. Y no solo eso, demostró que existe la misma limitante para la extracción de energía que descubrió Christodolou, pues la desigualdad implica que hay una masa irreductible.

Hawking, en su ensayo, admite que ya físicos como Penrose sabían lo de la no reducción del área, pero su teorema es un resultado general, y por tanto más poderoso. Ya no aplica para entender la extracción de energía rotacional por captura de partículas, o la emisión de ondas gravitatorias en colisiones. Aplica en cualquier proceso dinámico que involucre agujeros negros: tiene un carácter universal.

Y en todos estos procesos, el área del agujero negro final solo aumenta.

Pero en la física hay otra magnitud que tiene esta propiedad: la entropía, que nunca disminuye con el tiempo.

¿Había alguna relación entre ambos fenómenos?

Un joven y desconocido físico comenzó a investigar ese curioso parecido, con resultados sorprendentes e indignantes.

UN REVOLUCIONARIO NACIDO EN MEXICO

Jacob Bekenstein era uno de los grandes de la física moderna. Nació en México, en 1947, y adquirió la ciudadania estadounidense en 1968. Obtuvo su licenciatura y maestría en el Polytechnic University (hoy NYU Poly), en Brooklyn.

Pasé un tiempo en aquella universidad, obsesionado con los trabajos de Hawking y Bekenstein. Fotocopiaba los ensayos originales, pasando horas muertas con volúmenes del Physical Review D, del Physical Review Letters y Communications in Mathematical Physics, a rastras. No sospeché (lo supe años después) que este hombre, quien creó la termodinámica de los agujeros negros, alguna vez caminó por esos mismos pasillos. Todavía guardo esos ensayos, que hoy desempolvo y vuelvo a releer para este resumen.

Jakob Bekenstein

Su trabajo es el punto de inflexión de esta historia, y seguir el sendero que sentó las bases de una revolución es un ejercicio digno de recrear.

Siendo un estudiante de doctorado, en la Universidad de Princeton, John Wheeler le externó una preocupación. Hay ya distintas versiones de esta mítica conversación. La exacta se ha perdido en la niebla de la historia de la física. Pero usando la imaginación y la memoria, rezaba más o menos así: "Imagínate que mezclas té frío y té caliente, y lo lanzas a un agujero negro”, le dijo Wheeler a Jacob. “Esto violaría la segunda ley de la termodinámica, y ese crimen quedará escondido en un lugar inaccesible”.

Perdida la taza para siempre detrás del horizonte de eventos, la entropía disminuye y la segunda ley, que afirma que la entropía solo aumenta con el tiempo, sería trascendida (violada), según Wheeler. Y eso no era bueno para la física.

En términos estadísticos, la entropía tiene un origen microscópico; es decir, está determinada por el movimiento aleatorio de los constituyentes de la materia, como las moléculas. En la mecánica estadística, la entropía de un sistema se obtiene contando los estados energéticos disponibles a éste, usando la fórmula de Boltzmann

S=klnΩ,S=klnΩ,

donde ΩΩ es el número de estados del sistema, y kk es la constante de Boltzmann.

Pero, ¿cuál es la estructura microscópica de un agujero negro? Nadie lo sabe, pues todo lo que entra, jamás vuelve a salir.

Bekenstein estudió el problema, partiendo de los trabajos de Penrose, Christodolou y Hawking. Llegó a la conclusión de que el único candidato a ostentar la posición de entropía de un agujero negro era el área de su horizonte de eventos.

Publicó un primer breve ensayo en 1972 [12], donde propone al área del horizonte de eventos como representante de la entropía del agujero. Pero no da detalles de su forma analítica exacta.

Los ataques, incluyendo del propio Hawking, no se hicieron esperar. El británico vio el uso de su teorema como un absurdo para justificar esas ideas termodinámicas. El físico estaba indignado.

Otros lo atacaron por utilizar bien establecidas y respetadas técnicas de la teoría de la información en un ámbito tan dudoso como el de los hoyos negros.

Pero Bekenstein siguió adelante. En 1973 publica un ensayo más extenso [13], donde detalla los cálculos que lo llevaron fundar una nueva rama de la ciencia, la termodinámica de los agujeros negros.

Su justificación estaba bien fundada. Nos dice que

"Los cambios en un agujero negro, o en un sistema de agujeros negros, seleccionan una dirección preferida en el tiempo: aquella en la que aumenta el área. De igual manera, cambios en un sistema termodinámico cerrado seleccionan una dirección preferida en el tiempo: aquella en que la entropía aumenta. Este paralelismo entre el área de un agujero negro y la entropía va aun más lejos…"

Y, en efecto, Bekenstein lo llevó más lejos.

El físico usa una fórmula conocida de la termodinámica, que cuantifica el cambio de la energía de un sistema ante cambios en su entropía (S) y volumen (V)

dE=TdS−PdV.dE=TdS−PdV.

Introduce una expresión análoga para un agujero negro de Kerr-Newman, con carga eléctrica

dM=Θdα+Ω⃗ ⋅dL⃗ +ΦdQ,dM=Θdα+Ω→⋅dL→+ΦdQ,

Comparando ambas expresiones, era obvio que α,α, el área del horizonte de eventos, debe corresponder a la entropía del agujero negro.

Para cimentar sus ideas, como hemos mencionado, Bekenstein invocó la teoría de la información, de Shannon. En su contexto se define el aumento de entropía como pérdida de información sobre los constituyentes internos de un sistema. Era un esquema perfecto para la teoría de los agujeros negros, donde cualquier información sobre su interior, o de cualquier objeto que ha entrado en él, nos es desconocida.

Ignorante de los estados internos de un agujero negro, Bekenstein parte de una relación muy parecida a la de Boltzmann, la fórmula de la entropía de Shannon

S=−∑pnlnpn,S=−∑pnlnpn,

donde

pnpn

es la probabilidad de que el sistema esté en un estado específico con probabilidad pnpn.

En este esquema la unidad de medida es el bit. Es un sistema binario, que asigna sólo valores como 1 ó 0; o que depende de preguntas cuyas respuestas son sí o no, por ejemplo.

Bekenstein hace uso de una idea central de esta teoría, debida a Brillouin, que define cualquier cambio de información como entropía negativa

ΔI=−ΔS.ΔI=−ΔS.

Si perdemos información dentro de una agujero negro, por ejemplo, la entropía aumenta, y por tanto también su área. Si aprendemos algo sobre su interior, esta disminuye. Pero no podemos saber nada sobre el interior, por lo que al menos se mantiene constante.

Esto encajaba perfectamente con el teorema de Hawking, dándole a Bekenstein más razones para seguir adelante. Era demasiado consistente para ser una simple analogía. Todo estaba dado en términos de información, o bits: un sí, o un no, sin importar los detalles de lo que anida dentro del agujero.

Por ejemplo, si podemos responder con certeza sí o no sobre las propiedades internas de un sistema, tenemos información exacta sobre el mismo. Esto implica que la entropía es cero. Pero, ¿cuál es la entropía máxima que podemos obtener a partir del esquema de Shannon? Si nos preguntan de nuevo sobre el sistema y no podemos responder ni sí ni no, entonces la probabilidad de uno u otro estado, para ambos casos es 1/2 nos dice Bekenstein; es decir

psí=pno=12psí=pno=12.

Usando la fórmula de Shannon,

S=−∑pnlnpn=−(12ln12+12ln12)=ln2S=−∑pnlnpn=−(12ln12+12ln12)=ln2.

Así, Bekenstein asigna a un bit de información la magnitud de

ln2.ln2.

FIGURA 7 - Bekenstein concibió el agujero como formado de bits de información y pronosticó ecuaciones para su entropía y temperatura.

Consciente de la naturaleza de la entropía, postula una función monotónica creciente para esta magnitud, proporcional al área del agujero

Sbh=f(α)=γα,Sbh=f(α)=γα,

donde αα es el área racionaliza

α=A4π.α=A4π.

Ahora sólo le faltaba extraer la forma analítica exacta, usando la teoría de la información y la mecánica cuántica.

Bekenstein calcula cuál es el aumento mínimo del área (entropía) de un agujero al caer una partícula en él, y que equivalga a un bit de información; o sea, a ln2ln2. Asume que mientras está afuera, la partícula existe y, la respuesta ante si existe o no, desde el punto de vista de la teoría de la información, es afirmativa. La entropía es pues cero.

Pero una vez la partícula cae dentro del agujero negro, no sabemos si ha sido destruida. De hecho, ya no sabemos nada, y si nos preguntan sobre su existencia, debemos responder que es posible que sí exista o no. De todos modos, hemos perdido información. Y si hemos perdido información, la entropía, o el área del agujero, aumenta.

Basándose en argumentos cuánticos, Bekenstein determina que el aumento mínimo del área, debido a la pérdida de un bit de información, al caer una partícula en el agujero (la más pequeña permitida por la mecánica cuántica), es

2ℏ.2ℏ.

Ahora sólo debía equiparar ese aumento mínimo en la entropía (área) del agujero, con el bit de información (ln2)ln2) perdido en sus entrañas

ΔSmin=2ℏdfdα=ln2ΔSmin=2ℏdfdα=ln2

Integrando,

2ℏdfdα=ln2,2ℏdfdα=ln2,

tenemos que

f=12ℏln2∫dα.f=12ℏln2∫dα.

Finalmente la entropía de un agujero negro es

Sbh=2ℏ−1ln2αSbh=2ℏ−1ln2α

Increíblemente, obtiene la forma de la función que pronosticó

Sbh=f(α)=γα,Sbh=f(α)=γα,

dándole forma analítica precisa.

Bekenstein procedió a expresar la ecuación en unidades naturales

Sbh=12ln2/4πκc3ℏ−1G−1A,Sbh=12ln2/4πκc3ℏ−1G−1A,

donde A es el área del agujero.

El físico advirtió que sólo un tratamiento cuántico riguroso podría ajustar perfectamente el factor de proporcionalidad, pero que estaba seguro de que su factor

12ln2/4π12ln2/4π

estaba cerca de lo correcto.

La fórmula de Bekenstein implica que la entropía de un agujero negro es enorme, miles de veces mayor que el astro que le dio vida. Como dice, refleja el carácter irreversible de su formación.

Uno de los resultados más sorprendes de los agujeros negros es que, una vez formados, sólo están caracterizados por su masa, momento angular y carga eléctrica. Diez agujeros negros con estas mismas magnitudes son idénticos. Sin embargo, lo mismo no sucede con su constitución interna. Como nos dice Bekenstein [13],

"Los agujeros negros en equilibrio, aun teniendo el mismo conjunto de tres parámetros (masa, carga y momento) pueden tener diferentes constituyentes internos. Por ejemplo, un agujero negro pudo haberse formado del colapso de una estrella normal, un segundo agujero del colapso de una estrella de neutrones, y un tercero del colapso de un geon. Estas diferentes alternativas pueden considerarse como posibles distintas configuraciones de un solo agujero negro caracterizadas por sus (comunes) masas, cargas y momentos angulares. Es entonces natural introducir el concepto de entropía de un agujero negro como la medida de lo inaccesible que es la información (para un observador externo) sobre qué configuración particular es concretada en un caso dado."

En otras palabras, toda información sobre la configuración inicial que le dio origen al agujero negro ha sido lavada por el proceso de colapso (no hair theorems), y puede haber surgido de cualquier configuración de materia que lo produjo. Obviamente, las posibilidades son innumerables y como no lo sabemos cuál es, todas son igualmente probables. Y esa es la causa de la enorme entropía: nuestra ignorancia sobre ese objeto inicial que le dio forma y cuya información está para siempre fuera de nuestro alcance.

Tras asignarle una entropía a un agujero negro, el físico postuló una segunda ley generalizada:

La entropía común más la entropía del agujero negro nunca decrece,

δ(Sc+Sbh)>0.δ(Sc+Sbh)>0.

Es decir, en cualquier proceso que involucre a interacción de la materia con un agujero negro, la entropía del agujero más la del universo exterior no disminuye. Así daba una respuesta al conundrum de Wheeler, y tranquilizaba al gran sabio.

Pero a pesar de la monumental teoría de Bekenstein, había un gran fallo.

Si volvemos a la expresión

dM=Θdα+Ω⃗ ⋅dL⃗ +ΦdQ,dM=Θdα+Ω→⋅dL→+ΦdQ,

y la comparamos con

dE=TdS−PdV,dE=TdS−PdV,

advertimos que ΘΘ debe ser el equivalente a la temperatura. Pero, ¿cómo puede un agujero tener temperatura, si nada escapa de su interior, ni siquiera la luz?

Bekenstein, a pesar del aparente "error", propone también una fórmula para la temperatura de un agujero negro

T=2ℏ(ln2)−1Θ.T=2ℏ(ln2)−1Θ.

Al físico sólo le quedaba dar el paso final que su esquema le reclamaba: pronosticar que si un agujero negro tiene entropía y temperatura, también debe emitir radiación térmica. Solo tenía que sentarse a esperar que alguien lo demostrara.

Pero no lo hizo. Y aquí llegamos a un punto que se repite más de una vez en esta fascinante historia. En lugar de llevar sus ideas hasta las últimas consecuencias, no se atreve a dar el último paso y afirma [13],

"Enfatizamos que no debemos considerar a T como la temperatura de un agujero negro; tal identificación puede fácilmente llevar a todo tipo de paradojas y, por tanto, no es útil."

Como nos dice Kip Thorne, en su maravilloso libro [14]:

"Si Bekenstein hubiera seguido su intuición hasta su conclusión lógica, habría afirmado que de alguna manera los agujeros negros deben tener una temperatura finita y deben emitir radiación, y hoy fuera contemplado como un profeta asombroso."

A pesar de lo especulativo de los argumentos de Bekenstein, y sus dudas, todos los físicos coinciden que con este trabajo nació una nueva rama de la física: la termodinámica de los agujeros negros. Otros se encargarían de colocarla sobre sólidos pilares, aunque sus intenciones eran otras.

LAS CUATRO LEYES DE LA MECANICA DE LOS AGUJEROS NEGROS

Poco después de la publicación del primer trabajo de Bekenstein, en 1972, como advertimos, Stephen Hawking externó su disgusto por el "mal uso" que éste le estaba dando a su precioso teorema. ¿Entropía? Bekenstein estaba loco, pues si los agujeros negros tienen entropía, deben tener temperatura, pero estos no pueden emitir radiación.

Ese mismo año, Hawking, Brandon Carter y James Bardeen estudiaron a fondo la relación entre los agujeros negros y la termodinámica [15], como una manera de demostrar que sólo eran analogías que no podían tomarse en serio. Era, realmente, una forma de revancha para demostrar lo absurdo de las ideas de Bekenstein. Y lo demuestra el título del mismo: Las cuatro leyes de la mecánica de los agujeros negros. Excluyeron la palabra termodinámica, como una forma de no dar mucho crédito a los planteamientos de Bekenstein. Afirman,

"Siguiento esta analogía procedemos a formular, en la Seccion 4, cuatro leyes de la mecánica de los agujeros negros que son similares, pero distintas a las cuatro leyes de la termodinámica."

Postularon las cuatro leyes que, según ellos, trascienden las correspondientes leyes termodinámicas:

La ley cero

La gravedad de superficie κκ de un agujero negro estacionario es constante sobre el horizonte de eventos.

La primera ley

Bajo cualquier proceso dinámico, el cambio de energía está relacionado a cambios en la entropía, el momento angular y la carga eléctrica por la fórmula

dE=κ8πdA+ΩdJ+ΦdQ.dE=κ8πdA+ΩdJ+ΦdQ.

Es la misma fórmula que Bekenstein planteó. De ella se deduce que así como la entropía es similar al área AA de un agujero negro, su temperatura debe estar ligada de alguna manera a

κ8π.κ8π.

La segunda ley

El área del horizonte de eventos de un agujero negro no disminuye con el tiempo

δA≥0.δA≥0.

La tercera ley

Es imposible, bajo cualquier proceso, no importa cuan idealizado, reducir la gravedad de superficie a cero mediante una secuencia finita de operaciones.

Es decir,

κ≠0.κ≠0.

Estas leyes no tenían ninguna base en la realidad, eran sólo correspondencias que los autores desarrollaron durante su estadía en la famosa escuela de verano de Les Houches, en 1972. En el fondo, era una forma de invalidar las "locas" ideas de Bekenstein.

Como afirman los autores:

"Puede notarse que κ8πκ8π es análoga a la temperatura, de la misma manera que AA es análoga a la entropía. Sin embargo, debemos hacer énfasis en que κ8πκ8π y AA son distintos a la temperatura y entropía de un agujero negro."

Y es que el mayor obstáculo era que no había forma de asignar ni una temperatura ni una entropía a un agujero negro ya que, por definición, nada escapa de su interior.

Sin embargo, era un paradigma tan sugestivo, pues cada ley termodinámica tenía su contraparte en la teoría de los agujeros negros, que parecía insensato no pensar que la naturaleza escondía nuevos fenómenos detrás de este curioso esquema físico-matemático.

Bekenstein se mantuvo firme ante los ataques y defendió sus ideas, con el apoyo del gran Wheeler.

En otro lado del mundo, la escuela de relativistas más influyente del planeta, a la sazón, iba rumbo a darle la razón a Bekenstein.

LA CONEXION RUSA: SUPERRADIANCE

Yakob Zeldovich es considerado uno de los padres de la bomba de hidrógeno rusa. Era un científico formidable, de talentos singulares y diversos. Era también autodidacta en distintas áreas de la física.

Yakob Zeldovich

Cuando Hawking lo conoció [8], le dijo que pensaba que era una suerte de Bourbaki, un colectivo de científicos que publicaba bajo un solo nombre, a la manera de los matemáticos franceses de los años 30.

Pero no. Zeldovich trabajaba las más de las veces solo, y de manera incansable. Los atributos del ruso le permitieron dedicarse, luego de entregar su tiempo y genio al complejo militar soviético, a la astrofísica. Pronto pasó a la vanguardia, y se convirtió en el pionero de un gran número de ideas que hoy adornan los libros de textos. Algunas siguen en la frontera de las investigaciones modernas. Una sola le hubiera bastado para ganar el Nobel. Pero los caprichos del Comité son como los del clima, por eso no se le puede tomar muy en serio.

Fue él, por ejemplo, quien sugirió que podíamos detectar agujeros negros usando sistemas binarios, estudiando cómo el campo de gravedad del hoyo afecta a su desdichada estrella compañera. Fue de los pioneros de la idea de los discos de acrecimiento, el motor que guía las espectaculares emisiones energéticas de los quasares. También fue precursor de cálculos sobre cómo perturbaciones en la densidad del universo primitivo sembraron las semillas que permitieron la aparición de galaxias.

Pero el más famoso de sus legados fue relacionar la constante cosmológica, introducida por Einstein, en 1917, con la energía del vacío cuántico, pronosticando que éste podía generar presión negativa [16]. De esta manera sentó las bases de los modelos inflacionarios del universo, e introdujo en la física moderna uno de los fenómenos más enigmáticos: el problema de la constante cosmológica. Esta guía la aceleración del universo, y es casi cero. Pero la teoría cuántica de campos afirma que es varios órdenes de magnitud por encima del valor demostrado. Nadie sabe por qué existe esta gran discrepancia entre teoría y experimento. Anuncia que algo no anda del todo bien con el modelo estándar de partículas.

FIGURA 8 - El agujero negro Cynus X-1, el primero en ser descubierto, y su desdichada compañera, visto por un artista. Zeldovich fue pionero de estos modelos.

Por supuesto, el gran ruso también se interesó en las propiedades de los agujeros negros, o "frozen stars" como le llamaban los soviéticos (el término nunca cuajó). Como solía hacer, se acercó al tema de la extracción de energía desde una dirección completamente insospechada: la electrodinámica cuántica, la teoría que describe la interacción entre la materia y la radiación, y la más exitosa de todas las que han salido del cerebro de descendientes de primates.

En un ensayo de apenas dos páginas [17], en 1971, estudia ondas incidentes sobre un cilindro que rota dentro de una cavidad resonante (por ejemplo, un microondas), y descubre que las ondas dispersadas amplifican las del resonador, perdiendo el cilindro su energía de rotación en el proceso.

Establece una sencilla relación que explica cómo el fenómeno pueda producirse. Si ωω es la frecuencia de la onda incidente, y ΩΩ es la velocidad de rotación del cilindro, entonces hay amplificación si

ω<nΩ,ω

donde nn está asociada a la naturaleza de la onda. Si la desigualdad no se cumple, entonces no hay amplificación, y la onda incidente es absorbida. El fenómeno era ya conocido en otros ámbitos como superradiance.

Pero Zeldovich, como sacando un conejo de un sombrero, afirma, luego de plantear el problema general, que

"Una situación similar puede presentarse aparentemente cuando se estudia un objeto en rotación en estado de colapso relativista."

FIGURA 9 - La onda incidente es amplificada por el agujero negro en rotación: aumenta su amplitud, pero deja su frecuencia intacta. Este fenómeno se llama superradiance.

La de Zeldovich es una afirmación inesperada, sin ningún cálculo detallado que la avale. Nada de lo que precede lo anticipa. Era un argumento heurístico, pero salido de la intuición de un genio.

No es de extrañar que el ruso, estando a la vanguardia de la astrofísica, supiera del proceso Penrose. La prueba es que, al final del ensayo, agradece a tres de los más grandes expertos en relatividad general estadounidenses de entonces: Charles Misner, Kip Thorne y John Wheeler, "por estimulantes conversaciones sobre la extracción de energía de un cuerpo en rotación que colapsa."

Luego de afirmar que un agujero negro de Kerr puede amplificar ondas que indicen en él, nos dice que

"Finalmente, en un análisis cuántico del campo de ondas, esperamos radiación espontánea de energía y de momento, por el cuerpo en rotación."

Lo que Zeldovich concluye es que un agujero negro de Kerr emite partículas. Una vez el colapso termina, cesa la radiación. Y, ¿cómo se produce este fenómeno? Resulta interesante su explicación, pues aclara un tema espinoso en la ciencia: el de las prioridades,

"Podemos generalizar al caso de fermiones. El cuerpo en rotación produce pares de partículas…el cuerpo absorbe una de las partículas, mientras que la otra (antipartícula) se va al infinito, llevándose energía y momento."

Los fermiones tienen spín (versión cuántica de la rotación), por lo que roban energía rotacional al agujero.

Zeldovich fue el primero en usar la analogía de pares de partículas creados del vacío cuántico para describir la radiación que emana de un agujero negro, y es el pionero de este fenómeno que hoy lleva el nombre de Hawking. Pero el gran ruso no fue el primero en predecir la producción de pares de partículas como consecuencia de campos gravitacionales potentes, el mérito le pertenece a uno de los padres de la mecánica cuántica, Erwin Schrödinger. En un artículo de 1939 [18], en el que estudia la expansión del universo, afirma que

"De todo lo que he hallado hasta ahora, debo concluir que el fenómeno alarmante (es decir, la producción de pares de partículas y la reflexión de la luz en el espacio) no están conectadas con la velocidad de la expansión, sino que pueden ser producidas por la expansión acelerada. Esto puede jugar un papel en periodos críticos de la cosmología, cuando la expansión cambia a contracción, o viceversa."

Otros exploraron más adelante estos fenómenos, como Bryce DeWitt y Leonard Parker. Este último, en 1969, siguiendo los pasos de Schrödinger, convirtió esas ideas en una esquema físico-matemático riguroso, estableciendo los rudimentos de la teoría cuántica de campos en espacios curvos y demostrando que esos fenómenos eran ineludibles bajo ciertas condiciones, en la cosmología relativista.

Resulta interesante notar que, al ir a las fuentes originales, se puede ver con claridad cómo diversos hechos sobre esta fascinante historia o no se mencionan, o se tergiversan, o simplemente se vuelven leyendas. El hermetismo del régimen soviético de aquella época permitió que la historia de esos logros la contaran otros, con las consabidas consecuencias.

Pero la escuela de Moscú siguió investigando el fenómeno. Así, un estudiante de Zeldovich, Alexander Starobinsky, publicó un artículo en el que sometía a un análisis riguroso los argumentos del maestro [19], con el fin de averiguar si éste tenía razón.

Starobisnky utilizó un campo escalar clásico, que se propaga en las cercanías del agujero de Kerr y obedece la ecuación de Klein-Gordon (una ecuación de onda). Soluciones de esta ecuación, bajo las condiciones del problema, se pueden representar como

f=A.e−ωy+B.eiωy,f=A.e−ωy+B.eiωy,

donde el primer término es la onda que incide en el agujero y el segundo la onda reflejada. La condición para que la onda reflejada aumente su amplitud es que

|B|2>|A|2.|B|2>|A|2.

Starobinsky encuentra que esto implica

ω<nΩ,ω

tal como había pronosticado Zeldovich, a partir de argumentos menos detallados.

No había ya dudas, un agujero negro de Kerr podía perder su energía de rotación por medio del fenómeno de superradiance, y podía emitir espontáneamente partículas.

Starobinsky concluyó, también, que aquellas ondas que no cumplieran con la condición matemática ω<nΩω, eran absorbidas por el agujero. En este sentido, el ruso se topó con un fenómeno que, todavía hoy, sigue siendo un misterio. Descubrió que la probabilidad de absorción de esta ondas de muy baja frecuencia es igual al área AA del horizonte de eventos

σabs=Aσabs=A.

En cálculos en teoría de supercuerdas se ha hallado el mismo resultado, indicando que tiene un carácter universal, aunque desconocido.

Tanto Zeldovich como Starobinsky hallan que la energía de las ondas amplificadas es muy pequeña, anticipando lo que Hawking descubriría más tarde por otros medios. De hecho, Starobinsky argumenta que es tan pequeña que para que el agujero desaparezca debe pasar un tiempo equivalente a la edad del universo. Por eso, dice, deben existir pues no han tenido tiempo para extinguirse. Es increíble pensar que estaban trabajando con objetos especulativos, con pura teoría sin ningún asidero en la realidad.

El fenómeno de superradiance puso al descubierto otra forma de extraer energía de un agujero negro, pero una que puede ser catastrófica. En efecto, se ha usado para construir, en teoría, un agujero negro bomba [20]. Si encierras un agujero negro de Kerr en una cavidad reflectora, la amplificación de las ondas puede llegar a ser incontrolable, produciendo una inestabilidad en el agujero y puede terminar explotando [21].

FIGURA 10 - Amplificación de ondas incidentes en un agujero negro de Kerr encerrado en una cavidad. El agujero emite radiación amplificada, que choca con las paredes de la cavidad; esta es reflejada y vuelve al agujero negro para ser amplificada más aun, y así en un proceso que puede desestabilizar al agujero.

En cuanto a una colección de agujeros negros, el mismo fenómeno podría producir el equivalente a una reacción en cadena, donde las ondas amplificadas, a la manera de reacciones nucleares, funcionan como "neutrones" catalizadores para excitar a otros agujeros negros.

FIGURA 11 - Reacción en cadena que producen ondas amplificadas por agujeros negros de Kerr.

Al final, la conclusión de Zeldovich y Starobinsky es la misma que la de Penrose: podemos extraer energía de un agujero negro de Kerr a expensas de su rotación, pero usando ondas, en lugar de partículas. Aunque parezcan interpretaciones idénticas de un mismo fenómeno, no es del todo cierto [21]. El proceso Penrose depende de una ergosfera y de la fragmentación de partículas en su interior, mientras que los hallazgos de Zeldovich y su discípulo dependen de la existencia del horizonte de eventos y ondas continuas que no se fragmentan.

¿Tenían los rusos razón? ¿Eran estos fenómenos posibles? Casi nadie les hizo caso, y sus trabajos pasaron sin pena ni gloria para la mayor parte de la comunidad científica de la época.

Pero hubo un hombre que prestó mucha atención, aunque ya no podía ni hablar ni valerse por sí mismo.

LA RADIACION DE HAWKING

Stephen Hawking visitó a Zeldovich en Moscú, en 1973 [10]. El efecto que Zeldovich y Starobinsky habían descubierto le pareció posible, pero no quedó convencido de las técnicas que los rusos habían utilizado para llegar a sus conclusiones. Decidió enfrentar el problema a su manera, aunque ya ellos y otros, como sabemos, le habían allanado el camino con las herramientas físico-matemáticas que necesitaba.

El papel del átomo de hidrógeno, el más sencillo del universo, es bien conocido como campo de pruebas en los albores de la mecánica cuántica. Hawking imaginó un átomo compuesto por un mini agujero negro como núcleo. Quería saber qué le sucedería a los "electrones" que lo que circundaran. Era un ejercicio aparentemente sencillo, que preparía el camino para un cálculo, más difícil, que tomara en cuenta el proceso de colapso.

Al igual que Starobinsky, Hawking estudia un campo escalar sin masa que obedece la ecuación de Klein-Gordon, pero en el espacio-tiempo de Schwarzschild. Utiliza las herramientas de la teoría cuántica de campos en espacios curvos y las consecuencias de este esquema para la descripción de la creación y destrucción de partículas. Uno de los aspectos fundamentales de la teoría cuántica de campos es que la cantidad de partículas puede cambiar, debido a interacciones y fluctuaciones cuánticas del vacío que crean partículas y sus antipartículas, que luego se aniquilan mutuamente.

La onda escalar (campo) que usó Starobinsky choca y rebota, o es absorbida. Obedece, como hemos visto, una ecuación de Klein-Gordon clásica. Hawking usa la misma ecuación, pero somete a un proceso de cuantización el campo escalar que representa. Lo estudia propagándose en el espacio-tiempo curvo (métrica clásica) de Schwarzschild. A esta combinación entre un sistema cuántico y uno clásico, se le llama tratamiento semi-clasico.

La aproximación de Hawking [22], publicada en 1975, se basa en lograr determinar hasta qué punto es válido el tratamiento semi-clásico. Argumenta que una incertidumbre en cuanto a la curvatura del espacio-tiempo, ya a un nivel cuántico, se traduce en una incertidumbre en cuanto a la densidad de energía que la genera, según las ecuaciones de Einstein. Y esto implica la creación de partículas, localmente hablando. Como la incertidumbre en la curvatura es pequeña con relación a la curvatura total del espacio-tiempo en consideración, la creación de partículas es también insignificante. Sin embargo, su hallazgo es que aunque al nivel local la producción de partículas es escasa, hay un efecto cumulativo global y a escala de la edad del universo: el agujero negro emite radiación durante billones de años, haciendo de este un efecto a largo plazo, y quizá medible. Todo ello gracias a la existencia de un horizonte de eventos que "retrasa", debido al corrimiento hacia el rojo, la radiación creada.

Por otro lado, en un espacio-tiempo curvo como el que describe la métrica de Schwarszchild, la definición del campo cuántico no es única ya que puedes elegir otra solución de la ecuación de onda de Klein-Gordon para describirlo. Esto implica que la definición de lo que es una partícula depende del observador, pues cada uno lleva su marco, con tiempo propio. Lo que parece ser un estado vacío desprovisto de partículas para un observador, puede ser un estado poblado de partículas para otro. Y es esta arbitrariedad, producto de la relatividad general, el fundamento del cálculo técnico de Hawking.

El físico logró determinar la cantidad de partículas producida por un agujero negro, determinado su forma analítica exacta. Halló que su espectro era el de un cuerpo negro, con temperatura igual a

T=ℏc38πGkBM,T=ℏc38πGkBM,

siendo MM la masa del agujero. Nótese la aparición de las constantes fundamentales de la relatividad, c,c, la gravedad, G,G,la mecánica cuántica, ℏℏ , y la termodinámica, kBkB. Estamos ante la convergencia de estas ramas en una sola e increíble fórmula, una síntesis que no ha logrado entenderse a cabalidad, pero que esconde un gran misterio.

El hecho de que la temperatura es inversamente proporcional a la masa, tiene interesantes consecuencias. Como nos dice Hawking, los agujeros negros masivos absorben más energía de la que emiten, por lo que tienden a aumentar su masa. Esto implica que su temperatura puede llegar a ser muy pequeña. Por ejemplo, nos dice el físico, para un agujero con la masa del sol, la temperatura es menor que la de la radiación de fondo del universo, que es de unos 3 °K.

Es posible, sin embargo, que existan agujeros negros en miniatura. Para estos la temperatura puede ser alta y tienden a emitir más radiación de la que absorben. Esto hará que su masa disminuya y, según Hawking, provocará finalmente una gran explosión que haría desaparecer al agujero, y devolver toda la energía al exterior en forma de energéticos rayos gamma.

Aunque el área disminuye, la radiación de Hawking lleva la entropía consigo de regreso al universo, manteniendo intacta la segunda ley generalizada.

En su seminal artículo, Hawking pudo calcular el factor de proporcionalidad en la fórmula para la entropía de un agujero negro, y determinar con exactitud la forma pronosticada por Bekenstein.

En unidades naturales la temperatura es

T=κ2π,T=κ2π,

donde κκ es la gravedad de superficie.

Volvamos a la ecuación

dE=TdS−PdV.dE=TdS−PdV.

Su contraparte, como ya sabemos, para un agujero con rotación y sin carga eléctrica es

dE=κ8πdA+ΩdJ.dE=κ8πdA+ΩdJ.

Reescribiéndola en términos de la temperatura encontrada

dE=κ2πd(A4)+ΩdJ.dE=κ2πd(A4)+ΩdJ.

Se deduce que la entropía de un agujero negro es

S=14A,S=14A,

donde A es el área del horizonte de eventos. Es, como todas la fórmulas importantes de la física, de una sencillez asombrosa.

Con su descubrimiento, Hawking puso todas las piezas del rompecabezas en su sitio, y cimentó las propiedades termodinámicas de los agujeros negros. Ya no son sólo analogías: las leyes sagradas que gobiernan la transferencia de calor y energía también aplican a los agujeros negros. Pero a menudo sucede que con grandes descubrimientos, también surgen nuevos misterios: ¿por qué la entropía es 1/41/4 del área? Nadie lo sabe. En termodinámica y estadística clásica la entropía es producto del movimiento aleatorio de los constituyentes de la materia. Pero, ¿de qué está constituido un agujero negro? Clásicamente, y a un nivel macroscópico, es muy sencillo, como hemos visto. Sólo está definido por su masa, momento angular y carga eléctrica. Cien agujeros negros con estas tres magnitudes idénticas son exactamente iguales: nada más los distingue. Sin embargo, la teoría no ofrece información sobre sus estados microscópicos, los ladrillos de los que está hecho un agujero negro.

Lo que se sospecha es que el horizonte de eventos contiene los microestados responsables de la entropía de todo lo que cae en el agujero, incluyendo el de la estrella inicial que le dio vida. ¿Cómo puede una superficie contener información sobre el volumen que encierra?

Las investigaciones realizadas en este sentido, a lo largo de varias décadas, han abierto una ventana a una nueva visión de la gravedad, en donde la entropía, la temperatura y otros aspectos termodinámicos juegan un papel esencial. Una visión holográfica de la gravedad, y del espacio-tiempo, se ha abierto camino como la única explicación posible al enigma de los agujeros negros. Dentro de este esquema, toda la información que ocupa un volumen puede reconstruirse sobre la superficie que lo rodea, como en un holograma.

No cabe dudas de que ya no puede hablarse solo de una teoría cuántica de la gravedad, sino de una teoría cuántica de la gravedad termodinámica.

EPILOGO - UN GOLPE MAS DEL DESTINO: HAWKING, MALDACENA Y KLEBANOV

La radiación de Hawking, como hemos visto, no surgió hecha y derecha, como nació Atenas de la cabeza de Zeus.

Si leemos los ensayos de Zeldovich y Starobinsky, nos sorprendemos de lo lejos que llegaron con sus cálculos. En su artículo de 1975, Hawking utiliza las mismas herramientas formales que emplearon los rusos. Incluso, cuando generaliza su cálculo al agujero negro de Kerr, obtiene los mismos resultados que Starobinsky para la emisión, y cita al ruso.

Los físicos de Moscú estudiaron la dispersión y absorción de ondas que inciden sobre un agujero con rotación y trataron el problema resolviendo las ecuaciones de los distintos campos clásicos que representaban (electromagnético, escalar, con espín…), vestidas en las coordenadas de la métrica. Así, pudieron estimar con precisión la amplificación de las ondas dispersadas, la pérdida de energía de rotación por parte del agujero negro, la emisión espontánea y estimulada de partículas, y los regímenes donde estos efectos aplicaban.

¿Por qué, entonces, los rusos no descubrieron la radiación de Hawking y se alzaron con la gloria? Puede ser una cuestión hoy banal, pero Dennis Overbye [23] se hace esta pregunta, y concluye que "sólo alguien con la visión del físico británico podía poner todas las piezas del rompecabezas en su sitio". Ese texto, obviamente, tiene la balanza inclinada hacia Hawking, como pasa con muchos libros modernos de divulgación, que exaltan su vida y sus logros pero omiten el trabajo de grandes precursores, como Zeldovich y su grupo, Parker e incluso Bekenstein.

Lo cierto es que la negativa de Hawking a aceptar sus propios resultados, al principio, indican que esperaba lo mismo que obtuvieron los rusos. Es un ejercicio típico en la física y la matemática: intentar reproducir los resultados de otro para darles credibilidad, o derrumbarlos. Pero la realidad es que había tres puntos importantes, en su tratamiento del problema, que lo apartaban de los rusos. En primer lugar, usó el agujero negro de Schwarzschild, con una métrica mucho más sencilla. En segundo lugar, mientras que los rusos estudiaron el agujero negro de Kerr ya formado, evitando así el engorroso proceso de colapso, Hawking lo enfrentó. De alguna manera intuía, utilizando los teoremas de no pelos, que su resultados dependerían sólo de magnitudes como la masa, la carga y el momento angular del agujero, y no de los detalles del colapso. Y tenía razón. Finalmente, utilizó una novedosa aproximación para la descripción de la propagación de campos cuánticos en espacios curvos.

Los rusos se negaron a aceptar el resultado de Hawking, convencidos de que sus cálculos eran correctos, y que una vez la rotación cesa, el agujero deja de emitir radiación. Al final, sin embargo, Zeldovich, Kip Thorne y otros científicos tuvieron que reconocer el sorprendente descubrimiento del físico británico [14].

Entre el ensayo inicial de Penrose y la publicación seminal de Hawking, sólo median seis años. Pero lo cierto es que los descubrimientos se hicieron en menos tiempo, dado que pasaban meses antes de que una revista importante, debido al peer review, publicara un artículo. Durante ese periodo la física se transformó. Hoy la termodinámica de los agujeros negros sigue ocupando el centro de investigaciones en teoría de cuerdas, por ejemplo. Y esto nos trae a una curiosa jugada del destino.

La Conjetura de Maldacena, llamada así por Juan Maldacena, el físico que la postuló, y el Principio Holográfico, que intenta legitimizar, es la culminación de décadas de investigaciones sobre la termodinámica de los agujeros negros. Pero, a la manera de la radiación de Hawking, el científico argentino no fue el único que estuvo cerca de descubrir la famosa dualidad AdS/CFT.

En la universidad de Princeton hay un destacado físico ruso llamado Igor Klevanov. Incursionó en el mundo de las supercuerdas en los 80, y ha hecho diversos aportes.

Igor Klevanov

Pero el trabajo más importante de Klevanov tiene que ver con los agujeros negros que surgen de las ecuaciones de la teoría de las supercuerdas cerradas (Tipo II B), que describen la gravedad. Son hoyos negros extendidos en distintas dimensiones, descritos también por métricas, y se les llama p-branas negras.

Estos objetos tienen otra interpretación microscópica, en función de cuerdas abiertas atascadas en hiperplanos, llamados Dp-branas. A esa escala están descritas, no por una teoría de la gravedad métrica, sino por una teoría de partículas gauge, del tipo Yang-Mills, pero supersimétrica.

Una teoría no "sabe" de la existencia de la otra.

¿Son ambas interpretaciones equivalentes?

FIGURA 12 - La Conjetura de Maldacena: una teoría de campo gauge conforme (SUSY Yang-Mills) en 4 dimensiones es equivalente a una teoría cuántica de la gravedad (teoría de cuerdas cerradas) en 5 dimensiones, que "vive" en el espacio-tiempo de AdS.

A partir de 1994, los físicos estudiaron intensamente las propiedades termodinámicas de estos agujeros negros cuerdísticos y sus versiones microscópicas. Descubrieron que poseían entropía y que absorbían y emitían radiación, como sus primos relativistas. Este repentino aumento de las actividades surge luego de que, ese año, el desaparecido físico Joseph Polchinski descubriera que las Dp-branas pueden ser los componentes de los que están hechos los agujeros negros (sus átomos), en la teoría de las supercuerdas.

Fue una época de grandes logros teóricos, incluyendo el primer cálculo, dentro de una teoría, de la entropía de un agujero negro usando sus microestados, algo que no se ha podido lograr para los agujeros negros típicos de la relatividad general.

Klevanov investigó la dispersión y absorción de ondas por parte de una 3-brana negra y su correspondiente D3-brana [24]; o sea en ambos régimenes, como una forma de averiguar si obtenía los mismos resultados. Una D3-brana tiene tres dimensiones espaciales, y si incluimos el tiempo, se convierten en cuatro, "acercándola" así al mundo en que vivimos. De ahí su importancia para estas investigaciones, además de que es una de las más sencillas (es autodual).

Increíblemente, el ruso utilizó las técnicas formales que emplearon Zeldovich y Starobinsky, décadas antes, resolviendo la misma clase de ecuaciones para campos escalares, y de otros tipos, que incidían sobre estos objetos, en sus respectivos régimenes. Leer a Klevanov, por momentos, da la impresión de que estás leyendo a sus paisanos de la era comunista, pero en plena era de las supercuerdas.

Al final, el ruso encontró que los resultados coincidían perfectamente para ambos dominios.

Pero, ¿qué significaba eso, en el fondo?

Klevanov no pudo interpretar lo que realmente sus cálculos le estaban diciendo, y aunque tenía todo el conocimiento necesario para averiguarlo, la gloria se le escapó de las manos.

Le tocó a Maldacena, como a Hawking con su radiación, desvelar el misterio y alzarse con la fama eterna. En 1997 [25], motivado por los cálculos del ruso, Maldacena dio un espectacular salto intuitivo y vio con claridad el meollo del asunto: lo que Klevanov vislumbró en la niebla, y el argentino vio con la claridad del día, es que ambas teorías, la de cuerdas que describe a la p-brana, y la de Yang-Mills, que describe campos cuánticos solamente, son equivalentes, pero en distintas dimensiones.

La conjetura de Maldacena nos dice que se puede utilizar una teoría cuántica de la gravedad (una teoría de supercuerdas definida en el espacio-tiempo curvo de Anti de Sitter (AdS), de 5 dimensiones), para estudiar una teoría de cuántica de campos conforme (CFT) de Yang-Mills supersimétrica, en un espacio-tiempo de 4 dimensiones plano, y viceversa. Conforme significa que las ecuaciones de la teoría no cambian si las coordenadas se someten a ciertas transformaciones, como dilataciones, etc.

No sólo la conjetura es un ejemplo del Principio Holográfico, también es un ejemplo de dualidad: mientras una teoría está en acoplo (interacción) fuerte, la otra está en acoplo débil. Esto nos permite estudiar, al menos con toy models, fenómenos complejos, como la superconductividad, usando la métrica de un agujero negro (geometría).

El ensayo de Maldacena se ha convertido en el más citado de la historia de la física moderna, sacudiendo los cimientos de la teoría de las supercuerdas.

Hoy, científicos como Leonard Susskind asumen que el resultado fundamental que se ha extraído de la termodinámica de los agujeros negros es que la relatividad general (RG) y la mecánica cuántica (MC) son, en el fondo, una y la misma cosa, y escribe la ecuación [26],

RG=MC.RG=MC.

La teoría cuántica nació del estudio de la radiación del cuerpo negro, y la más estudiada teoría cuántica de la gravedad actual (la conjetura AdS/CFT) surge del estudio de agujeros negros, que también emiten radicación de cuerpo negro. Estos, y sus propiedades termodinámicas, se yerguen como algunos de los fenómenos más extraordinarios de la ciencia. Es indudable que contienen la clave de los más grandes misterios de la estructura del espacio-tiempo y de la materia, al llevar a esta última más allá de los límites de lo comprensible mediante el colapso gravitatorio.

El alcance conceptual del proceso Penrose ha sido más profundo que cualquier otro de la física actual, no sólo porque nos ha conducido a la unión de dominios que parecían no tener relación entre sí, también porque va directo al corazón del dilema central de la física: la unificación de lo inmensamente grande con lo infinitamente pequeño. Y es en ese cruce de caminos donde se encuentra el misterio de todo lo que todavía no podemos entender del universo.

REFERENCIAS

1. Gravitational Collapse, the Role of General Relativity. Roger Penrose. Riv. Nuovo Cim. 1 (1969), 252-276.
2. New Zealand Listener
3. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. Roy P. Kerr. Physical Review Letters 11 (5): 237 - 238 (1963).
4. Shakespeare, Newton and Beethoven – A talk by S. Chandrasekhar (Page 1/3)
5. Extraction of Energy from a Black Hole. R. Penrose, R. M. Floyd. Nature Physical Science, volume 229, pages177–179(1971).
6. Introducing the Black Hole. Remo Ruffini, John Wheeler. Physics Today, January 1971.
7. Reversible and Irreversible Transformations in Black-Hole Physics. Demetrios Christodoulou. Phys. Rev. Lett. 25, 1596 – Published 30 November 1970.
8. Gravitation. Charles W. Míster, Kip S. Thorne, John A. Wheeler. W.H. Freeman and Company, 1973.
9. Reversible Transformations of a Charged Black Hole, Demetrios Christodoulou and Remo Ruffini. Phys. Rev. D 4, 3552 – Published 15 December 1971.
10. Breve Historia del Tiempo. S.W. Hawking. Editorial Crítica, 2019.
11. Gravitational Radiation from Colliding Black Holes. S. W. Hawking. Phys. Rev. Lett. 26, 1344 – Published 24 May 1971.
12. Black Holes and the Second Law. Jacob Bekenstein, Lettere al Nuovo Cimento 4 (1972) 737.
13. Black Holes and Entropy. Jacob D. Bekenstein. Phys. Rev. D 7, 2333 – Published 15 April 1973.
14. Black Holes and Time Warps, Einstein's Ourageous Legacy. Kip S. Thorne. W. W. Norton and Company, 1993, Pág. 427.
15. The Four Laws of Black Hole Mechanics. J.M. Bardeen, B. Carter, S.W Hawking. Commun. math. Phys., 31, 161-170 (1973).
16. Cosmological Constant and Elementary Particles. Yakob B. Zeldovich. ZhETF Pis'ma 6, No. 9, 883-884 (1 November 1967).
17. Generation of Waves by a Rotating Body. Yakob B. Zeldovich. ZhETF Pis. , Red. 14, No. 4, 270-272 (20 August 1971).
18. The Proper Vibrations of the Expanding Universe. Erwin Schrödinger, Physica, 6, (1939), 899-912.
19. Generation of Waves During Reflection From a Rotating "black hole". A. A. Starobinskii.JETP, Vol 37, Num. 1, p. 28 (July 1973).
20. Floating Orbits, Superradiant Scattering and the Black-hole Bomb. William Press, Saul A. Teukolsky, (1972). Nature 238 (211-212).
21. Black hole bombs and explosions: from astrophysics to particle physics
22. Particle Creation by Black Holes. S.W. Hawking. Commun. math. Phys. 43, 190-220 (1975).
23. Lonely Hearts of the Cosmos. Dennis Overbye. Harper Collins Publishers, 1991.
24. World Volume Approach to Absorption by Non-dilatonic Branes
25. The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity
26. Dear Qubitzers, GR=QM