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Para resolver esta integral primeramente se demostrará una identidad muy interesante, la cual dice que

∫π0xf[sin(x)]dx=π2∫π0f[sin(x)]dx∫0πxf[sin⁡(x)]dx=π2∫0πf[sin⁡(x)]dx

La demostración es muy sencilla, simplemente considérese la sustitución x=π−yx=π−y y por consiguiente dx=−dydx=−dy. Lo siguiente que se hace es sustituir esta información en la integral.

∫π0xf[sin(x)]dx=∫0π(π−y)f[sin(π−y)](−dy)=π∫π0f[sin(π−y)]dy−∫π0yf[sin(π−y)]dy∫0πxf[sin⁡(x)]dx=∫π0(π−y)f[sin⁡(π−y)](−dy)=π∫0πf[sin⁡(π−y)]dy−∫0πyf[sin⁡(π−y)]dy

En una integral definida no importa la variable que se esté utilizando, dará el mismo resultando mientras sea la misma función evaluada en el mismo intervalo; además, teniendo en cuenta las fórmulas de reflexión de las funciones trigonométricas, se sabe muy bien que sin(π−θ)=sin(θ)sin⁡(π−θ)=sin⁡(θ).

∫π0xf[sin(x)]dx=π∫π0f[sin(x)]dx−∫π0xf[sin(x)]dx∫0πxf[sin⁡(x)]dx=π∫0πf[sin⁡(x)]dx−∫0πxf[sin⁡(x)]dx

Se obtiene la misma integral en el lado derecho, pero con signo contrario, por lo que fácilmente despejando se llega al resultado deseado.

∫π0xf[sin(x)]dx=π2∫π0f[sin(x)]dx∫0πxf[sin⁡(x)]dx=π2∫0πf[sin⁡(x)]dx

Con esta información y sabiendo que cos2(x)=1−sin2(x)cos2⁡(x)=1−sin2⁡(x), entonces el integrando puede considerarse como una función completamente en función del seno por lo que

∫π0xsin(x)1+cos2(x)dx=π2∫π0sin(x)1+cos2(x)dx=−πarctan[cos(x)]2∣∣∣π0=π24∫0πxsin⁡(x)1+cos2⁡(x)dx=π2∫0πsin⁡(x)1+cos2⁡(x)dx=−πarctan⁡[cos⁡(x)]2|0π=π24

El resultado es por ende

∫π0xsin(x)1+cos2(x)dx=π24∫0πxsin⁡(x)1+cos2⁡(x)dx=π24