números enteros naturales?

La solución es n = 24 y p = 25 [aparte de la solución trivial: nn = 0 y pp = 7], y no es difícil de ver. Para empezar está claro que p>np>n y por tanto podemos escribir p=n+kp=n+k siendo k≥1k≥1 un número entero. Esto nos lleva a que:

72+n2=p2=(n+k)2⇒72+n2=n2+2kn+k2⇒72=2kn+k272+n2=p2=(n+k)2⇒72+n2=n2+2kn+k2⇒72=2kn+k2

Si existe una solución de la ecuación original entonces podríamos encontrar un kk que satisfaga esta última ecuación. Como 2kn2kn es un número par por ser múltiplo de 2, entonces la única manera de que el segundo miembro sea impar es que también kk sea impar (si un número es impar su cuadrado también es impar, la suma de dos números es impar si y sólo si únicamente uno de ellos es impar).

Además está claro de la última ecuación que 7≤k7≤k ya que si k>7k>7 nos pasamos de la suma. Por tanto k∈{1,3,5,7}k∈{1,3,5,7}, por tanto las posibles soluciones para nn soluciones deberían cumplir:

72=2⋅1⋅n+12,72=2⋅3⋅n+32,72=2⋅5⋅n+52,72=2⋅7⋅n+7272=2⋅1⋅n+12,72=2⋅3⋅n+32,72=2⋅5⋅n+52,72=2⋅7⋅n+72

Es decir que en las anteriores habría que tomar 2nk=48,40,24,02nk=48,40,24,0, siendo k=1,3,5,7k=1,3,5,7. Así que los valores del otro número serían n=24,20/3,12/5,0n=24,20/3,12/5,0, como el segundo y el tercer valor no son enteros quedan descartados, por lo tanto, sólo nos queda la solución:

72+242=252⇒49+576=62572+242=252⇒49+576=625