En una habitación cuadrada hay cuatro rincones. En cada rincón hay un gato. Enfrente de cada gato hay otros tres gatos. ¿Cuántos gatos hay en la...

Lo siento, con los datos es imposible saberlo. Ya, ya sé que se espera una respuesta típica para la que el problema ha sido diseñado, pero hay más en lo que pensar.

Suponer que el gato está situado en la posición que al autor del problema la viene bien es mucho suponer. Los gatos no son precisamente seres muy previsibles. Los gatos no van a estar en la esquina mirando a la bisectriz como robots. Probablemente alguno esté mirando a un lateral o incluso de cara a la esquina. Literalmente "enfrente de cada gato hay otros tres gatos" es una afirmación imposible de prever.

Hay muchas situaciones en las que el número de gatos posibles en la sala va a depender de la posición del gato y de cual es la dirección real "enfrente de".

Sí, el autor de la pregunta espera una respuesta simple y, para él, lógica. Pero es gracias a que los problemas se piensan de una manera más abierta y no obvia como la ciencia y la inteligencia avanzan. Cuidado con fiarse de lo que paree obvio.

EDICIÓN (19 julio 2022)

Siguen llegando comentarios, algunos con malas maneras y peor redacción, que insisten en plantear la cuestión de una manera simple o de "respuesta esperada". En algunas ocasiones con demasiada vehemencia que roza la mala educación.

Vamos a poner algunas hipótesis sobre la mesa que respetan escrupulosamente el enunciado pero dan diferentes respuestas.

• Cuatro rincones. El rincón es un concepto 3D y el gato es un animal (por teórico que sea) que se mueve con mucha flexibilidad en el espacio. El enunciado no dice que los gatos estén en el suelo o que los gatos no pueden mirar más que en el mismo plano de altura. Cada uno de los gatos de la esquina podrían estar en diferentes alturas o mirando en diferentes planos. La visión periférica de un gato limita lo que puede ver, al igual que nos ocurre a los humanos. Vamos a etiquetar cada esquina de manera consecutiva siguiendo el sentido de las agujas del reloj: A, B, C, D. En las esquinas A y B los gatos están tumbados en el suelo y miran hacia el centro de la sala. En el centro de la sala hay tres gatos en el suelo. Pero los que están en C y D están a 2 metros de altura, subidos a una estantería, miran al centro y ven otros tres gatos. Ninguno de los gatos de las esquinas ve a otro gato en las esquinas (por cuestiones de visión periférica) Número de gatos en la habitación: 4+6=10. Pero si los cuatro gatos están en el suelo, tumbados dentro de una caja (por tanto no pueden verse entre ellos) y miran a una estantería en el centro en la que 3 gatos están subidos los gatos de la habitación son 4+3=7. De los datos del problema no puede derivarse que la habitación está vacía y los gatos miran en la dirección que nos interesa. Vamos con otra hipótesis. Los rincones tienen ventana y los gatos miran fuera de la habitación por esa ventana. Cada gato, en cada esquina ve 3 gatos, pero están fuera de la habitación. De modo que en este planteamiento del problema solo hay 4 gatos en la habitación. Las habitaciones suelen tener ventanas, muebles, objetos,… la suposición de una habitación plana, unidimensional y la situación teórica del gato mirando a la diagonal es algo que se presupone de manera precipitada si queremos atender a las posibles soluciones a un problema de un modo científico.
• Enfrente de cada gato hay otros tres gatos. Lo primero que uno tiende a imaginarse es una situación geométrica ideal, pero nada natural (los gatos son animales poco sumisos), en la que los gatos miran en la diagonal de un plano a los otros tres gatos de cada esquina. Esto es solo posible si los gatos son muy poco "gatos" y si la habitación es más bien pequeña. Si las paredes miden 100 metros (una nave industrial por ejemplo) la visión periférica impediría ver a todos los gatos de las esquinas enfrentadas. Así que debería haber más gatos que los de las esquinas para cumplir lo datos dados en el enunciado. Tampoco se puede descartar que la habitación tenga objetos en el centro, por ejemplo una pila de cajas. De este modo, en la situación más simple de 4 gatos en diagonal en el suelo, ninguno de los gatos vería al de su diagonal opuesta, de modo que habría más que 4 gatos.
• ¿Y si hay espejos? Que cada gato vea otros 3 no quiere decir que tengan que ser necesariamente diferentes a sí mismo. Pongamos que el gato de la esquina A no está exactamente en diagonal sino casi paralelo a la pared A-B Desde allí puede ver a los gatos de las esquinas B y C, pero no al de D. En esa pared "opuesta" hay un espejo en el que puede ver su reflejo. Así el "ve" 3 gatos. Si a esta situación se repite en las esquinas A B y C pero no en la D, en la que en la pared opuesta B-C no hay espejo pero hay un gato tumbado en el suelo, aunque no en la esquina, tendríamos 4+1=5 gatos.
• ¿Y si hay posters de gatos? El enunciado no dice que los 3 gatos que ve cada uno sean gatos reales y presentes en la sala. O si están proyectándose en una pantalla…

Sirvan estas situaciones como posibilidades de desarrollo real del problema teórico en busca de una respuesta más abierta y creativa que suponer una situación teórica ideal, simple y rápida, para dar un único número como solución.

La respuesta a un problema no tiene que ser siempre un número y un número único. Cualquiera que haya estudiado ecuaciones de 2º grado, por ejemplo, sabe que los problemas pueden tener soluciones múltiples. La respuesta no es un dato, es un razonamiento de lo que puede estar ocurriendo en una situación y el estudio de sus posibles consecuencias. Seamos creativos y usemos una mente científica, ya tenemos demasiado pensamiento cuadriculado en el mundo. Demostremos que realmente somos Homo Sapiens. (Si en un espacio como Quora no se puede poner uno a plantear respuestas divergentes, ¿dónde entonces? Esto no es una academia)

Pido disculpas anticipadas a todos a los que ofenden este tipo de respuestas abiertas y las consideran un ataque a su razonamiento inmediato. No es con mala intención, puede que sea solo torpeza y ganas de imaginar.