o hay alguna característica de la función que hace que esto suceda?

Bueno, la verdad es que preguntar si eso es una coincidencia sería como preguntar si el hecho de que ππ sea la razón de la longitud de una circunferencia y su diámetro es una coincidencia. Bastaría con responder "Claro que no, es que esa es su definición", porque no es como si un matemático random de hace 3000 años dijera "ππ va a ser 3.1415926535…" y luego otro descubriera que ese número resultaba ser casualmente esta relación.

Así que… ¿Ya está? ¿Pregunta respondida? ¿La definición de exex es "Aquella función cuya derivada es esa misma" y por eso su derivada es exex? Pues no, esto es verdad, pero hay que demostrarlo porque ¿A mí quién me asegura que esta función sea derivada de sí misma?

Claro, podría recurrir a la derivada de la función exponencial:

ddx[nx]=nx⋅ln(n)ddx[nx]=nx⋅ln(n)

Y a partir de ahí reemplazar n por e y… ¡voila! ln(e)=1ln(e)=1

así que

ddx[ex]=exddx[ex]=ex

Pero esta no me parece una buena respuesta porque surgen muchas más preguntas de las que contesta: ¿De dónde sale ese logaritmo? ¿Por qué se conserva el nxnx? O incluso, si no se tienen muchos conocimientos de cálculo (o se quiere ser un poco pillín, que también puede ocurrir) ¿Por qué ln(e)=1ln(e)=1?

Por este motivo prefiero responder de otra manera, primero vamos a recordar un par de definiciones:

1- Número e:

e=limx→∞(1+1x)xe=limx→∞(1+1x)x

Esta es la verdadera definición del número e o número de Euler. Cuya fórmula descubrió, como indica su nombre, Jacob Bernoulli.

2- Derivada:

f′(x)=ddx[f(x)]=limh→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=ddx[f(x)]=limh→0f(x+h)−f(x)h

Esto es lo que haces realmente cuando calculas una derivada.

Bien, una vez refrescados estos conceptos, vamos al meollo.

Primero vamos a aplicar la definición de derivada para la función exponencial:

ddx[nx]=limh→0nx+h−nxhddx[nx]=limh→0nx+h−nxh

Y fíjate en que podemos expresar el límite de la siguiente manera:

limh→0nx+h−nxh=limh→0nxnh−nxh=limh→0nx(nh−1)hlimh→0nx+h−nxh=limh→0nxnh−nxh=limh→0nx(nh−1)h

Además, puedes darte cuenta de que, como el límite solo está tratando la variable "h", todo lo que no esté relacionado con ella puede salir fuera del límite, por lo que la expresión finalmente quedaría así:

nx⋅limh→0nh−1hnx⋅limh→0nh−1h

¡Vaya! Esto ya se parece a la derivada de la función exponencial que todos conocemos (nx⋅ln(n)).(nx⋅ln(n)).

Solo faltaría relacionar ese límite tan extraño que nos aparece al lado de nxnx con ln(n)ln(n) y ya estaría todo resuelto. De hecho, si nos ponemos tiquismiquis, ese límite es una de las definiciones del logaritmo neperiano, pero no quiero continuar así porque eso es un poco más complicado de demostrar. Mejor vamos a hacer otra cosa: vamos a aplicar esta expresión que hemos calculado para e^x. De esta forma:

ddx[ex]=ex⋅limh→0eh−1hddx[ex]=ex⋅limh→0eh−1h

Bien, ahora a resolver el límite. ¿Cómo? ¡Fácil, con L'Hôpit…! Oh, espera, para hacer eso deberíamos conocer la derivada de e^x… Bien, habrá que resolverlo de otra manera, para ello vamos a pensar en la definición del número e:

e=limn→∞(1+1n)ne=limn→∞(1+1n)n

Vamos a hacer esto de una manera poco rigurosa, aunque se entiende bastante bien, vamos a interpretar ese límite de arriba de la siguiente manera:

e≈(1+1999999999999)999999999999e≈(1+1999999999999)999999999999

(Es decir, en vez de escribir n→∞,n→∞,escribimos un número muy grande))

Así que:

999999999999⋅(e1999999999999−1)≈1999999999999⋅(e1999999999999−1)≈1

Pero si recordamos, 999999999999 es solo una forma de decir n→∞n→∞, de modo que:

limn→∞n⋅(e1n−1)=1limn→∞n⋅(e1n−1)=1

Lo que podemos escribir de otra manera:

limn→0+1n⋅(en−1)=1limn→0+1n⋅(en−1)=1

Si te resulta extraña esta expresión, piensa que todas las partes con "n" tienden a lo mismo. Lo único que ha cambiado es la forma de escribirlo.

¿Te das cuenta? ¡Esta es la expresión que queríamos calcular! Recuerda que teníamos

ex⋅limh→0eh−1hex⋅limh→0eh−1h

Y ahora, sabiendo que

limn→0+1n⋅(en−1)=1limn→0+1n⋅(en−1)=1

Podemos afirmar que

ex⋅limh→0eh−1h=ex⋅1=exex⋅limh→0eh−1h=ex⋅1=ex

Nota: Como la función ex−1xex−1x es continua en x=0, podemos cambiar el 0+0+ por 00 en el límite. Esto se puede demostrar, pero para no hacer esto excesivamente largo adjunto una imagen para que lo compruebes tú mismo:

Muy bien, así que ya tendríamos lo que queríamos averiguar: efectivamente, la derivada de exex es exex. De hecho, eso es lo que hace que el número e sea tan especial y que la función exex sea la función exponencial más utilizada.

Respondiendo a tu última pregunta, la característica de la función que hace que esto suceda es precisamente el número e, cuya definición en límite permite hacer estos trucos matemáticos que has visto arriba.

Como añadido, que sepas que se puede calcular la fórmula de la derivada de cualquier función exponencial gracias a esto, ya que sabiendo que

nx=ex⋅ln(n)nx=ex⋅ln(n)

Entonces, mediante la regla de la cadena:

ddx[nx]=ddx[ex⋅ln(n)]=ex⋅ln(n)⋅ln(n)=nx⋅ln(n)ddx[nx]=ddx[ex⋅ln(n)]=ex⋅ln(n)⋅ln(n)=nx⋅ln(n)

Espero haberte respondido, saludos.