¿Qué libro me recomendaríais sobre álgebra matricial (o lineal)? Me gustaría comprenderlo, y comprenderlo bien, y busco un libro que sea claro y...

Bueno, en esto de "recomendar" libros, cada cual recomienda según sus gustos y según sus intenciones: pero no es lo mismo MI interés en el libro, porque coincide con mis inquietudes, o mis preferencias, que el interés de un alumno que debe presentarse a examen y seguir un enfoque determinado señalado por el profesor, que el interés de un profesor joven que desea convertirse en un maestro de verdad, y no solo en un intermediario entre libros y alumnos; o que el interés de un investigador especialista, o el interés de un autodidacta…

En fin, sobre álgebra lineal se ha escrito tanto, y como decía siempre Spivak, algunos de esos libros no eran demasiado buenos…de modo que no estoy seguro de acertar completamente; pero sí aseguro que se puede sacar cosas buenas de los que aquí señalo. Como decía el bachiller Sansón Carrasco en El Quijote, parafraseando a Plinio el joven:

"no hay libro tan malo que no tenga algo bueno".

Una exposición "amable", bien armada y bastante completa, pero sobre todo, esforzada en hacer comprender y relacionar conceptos, es el libro:

Linear Algebra Done Right, de Sheldon Axler. Editorial Springer, 3ª edición.

Utiliza colorines para remarcar las definiciones, teoremas, etc. y trae fotos de algunos de los excelentes profesores e investigadores que trabajaron en la materia.

Si este libro se ha trabajado bien, se puede pasar al "tremendo", "terrorífico" y amplísimo tratado clásico en alemán, en dos tomos (traducido al inglés en EEUU):

Linear Algebra (TOMO 1)

de Greub. Editorial Springer-Verlag New York Inc.1967 (3ª edición).

Multilinear Algebra (TOMO II)

de Greub. Editorial Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin 1967 (2ª edición)

Pero si no has cometido niguna acción cruel en tu vida, no te mereces esta tortura, salvo que desees convertirte en un sabio especialista en álgebra lineal; puedes dejarlo como consulta para ampliación, sobre todo el durísimo TOMO II.

Hay dos libros rusos, ya clásicos, que son muy claros y bien escritos, empiezan en el nivel cero y llegan muy lejos, con ejemplos y buenas explicaciones; y hay traducción española, realizada por la estupenda y tristemente desaparecida editorial MIR:

Fundamentos de álgebra lineal, de Maltsev. Editorial MIR (traducción española).

En este libro puedes ver una preciosa demostración -muy original- del teorema de Hamilton-Cayley, que no la he visto en ninguna otra parte, y está basada exclusivamente en cálculos simples y directos con matrices polinómicas (o polinomiales, como dice el autor). La reducción de matrices a la forma normal de Jordan, así como bastantes temas de cálculo matricial y algunas de sus aplicaciones las tienes ahí desarrolladas, junto con la conexión de muchos (o casi todos) de los conceptos de álgebra lineal con la geometría.

El otro libro ruso es:

Álgebra lineal, de Voevodin, Editorial Mir (traducción española).

En éste puedes ver, por cierto, una demostración del teorema fundamental del álgebra irreprochable y clarísima, y además basada en la antigua demostración clásica, la que emplea el lema de D'Alembert, pero esquivando el teorema de Weierstrass (el teorema de acotación de una función real de variable compleja definida sobre un círculo cerrado). Este teorema de Weierstrass es perfectamente correcto, por supuesto, pero no te dan la demostración directa en casi ningún libro: te remiten a los libros de análisis complejo; aunque la puedes obtener luego cuando estudies algo de topología, como un corolario del teorema sobre funciones continuas sobre dominios compactos; no obstante, Voevodin no emplea el teorema de Weierstrass, demostrando así que no es imprescindible para probar el teorema fundamental del álgebra, ni siquiera cuando se ataca la demostración por la vía clásica (Lema de D'Alembert).

Aquí puedes ver con ejemplos y bien desarrollados, los conceptos de producto vectorial, producto mixto, formas bilineales y cuadráticas, reducción de matrices, forma de Jordan…etc. y el enfoque matricial de muchos de los teoremas sobre operadores lineales. Sorprendentemente, es un libro conciso, no demasiado grueso (424 páginas).

Sobre álgebra y análisis matricial puedes ver, en particular, el accesible libro:

Matrices and Linear Transformations, de Charles G. Cullen. Editorial DOVER (1972).

Además de lo más básico, puedes encontrar ahí temas como matrices polinomiales, sucesiones y series de matrices y métodos numéricos.

Pero si ya quieres hacerte una idea de la profundidad del océano matricial…

Matrices: Theory and Applications, de Denis Serre. Editorial Springer (2001).

Es un libro descomunal…pero merece la pena echarle un vistazo; entre otras muchas cosas, explica algunas aplicaciones estadísticas de las matrices, métodos iterativos, conexión con los grupos clásicos, y un larguísimo ETC.