¿Si 1/infinito = cero (0), entonces si cero (0) se repite infinitamente, puede dar = 1 (0 x Infinito = 1)?

En matemáticas, siempre que describimos una operación nos estamos refiriendo a un espacio. Ciertos espacios convenientes son el espacio de los números naturales (NN), el espacio de los números enteros (ZZ), el espacio de los números racionales (QQ), el espacio de los números reales (RR), el espacio de números complejos (CC), el espacio de vectores bidimensionales (R2R2), el espacio de vectores tridimensionales (R3R3) y muchos otros.

Cada espacio tiene ventajas y desventajas para nuestros propósitos. En los números naturales (los que usamos para contar) podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. pero con algunas limitaciones. Por ejemplo sólo puedo restar una cantidad menor a una mayor: 8−5=38−5=3, pero no al revés: 5−85−8 no está definido. La división en números naturales me arroja dos cantidades diferentes: un cociente y un residuo: 17÷317÷3 da un cociente de 55 y un residuo de 22. Llamaremos división exacta cuando el residuo es cero.

Para resolver el problema de la definición de la diferencia (resta) podemos pasar al espacio de los números enteros. Los números enteros se parecen a los naturales pero existen además números negativos. Usando estos números negativos podemos lograr que 5−8=−35−8=−3. Trabajar con números enteros, en lugar de naturales, trae algunas ventajas al plantear ecuaciones, por ejemplo en finanzas, pero los números negativos no representan el conteo de nada, y perdemos una cosa valiosa de los números naturales: el buen orden.

Los racionales sirven para que la división sea siempre exacta y los reales permiten que toda aproximación aparentemente convergente de racionales sea efectivamente un número. Números como ππ y 2–√2 no son racionales pero son números con los que podemos trabajar en el espacio de los números reales.

¿De dónde viene el infinito?

Realmente existe más de un infinito, y distintas necesidades matemáticas nos harán trabajar con uno u otro infinito. No todos los infinitos tienen las mismas propiedades.

Los números naturales son buenos para contar, y por ello mismo para medir el tamaño (en número de elementos) de cualquier conjunto finito. Pero ningún número natural corresponde al tamaño del conjunto de números naturales #NN. Aquí podemos encontrar un primer infinito ∞∞ o ℵ0ℵ0, y podemos considerar el espacio N∪{∞}N∪{∞} y explorar qué pasa con las operaciones de NN cuando incluimos el infinito. Podemos concluir, por ejemplo, que 0+∞=∞+98=∞+∞=∞0+∞=∞+98=∞+∞=∞.

Esto puede ser útil para algunos propósitos, pero pierdo una propiedad de la suma de números naturales. Si yo tengo que n+15=128+15n+15=128+15, entonces puedo concluir que n=128n=128. Pero si n+∞=128+∞n+∞=128+∞, no puedo concluir lo mismo.

Pero, considerando únicamente problemas de conteo, resulta que los espacios N,Z,QN,Z,Q (naturales, enteros, racionales), tienen todos infinitos elementos, pero no sólo eso: tienen exactamente la misma cantidad de elementos. Pero el espacio de los números reales RR, tiene más elementos. Su tamaño es un infinito más grande que el tamaño de NN. Entonces si el tamaño de NN es ℵ0ℵ0, el tamaño de RR se llamará ℵ1ℵ1.

(técnicamente no es necesariamente cierto. ℵ1ℵ1 es realmente el tamaño de todos los posibles subconjuntos de números naturales. Si esto equivale al tamaño del espacio de números reales es apenas una conjetura que podría ser inmediata si se acepta el axioma de escogencia.)

Así como puedo “completar” el conjunto de los números naturales con infinito, el conjunto de los números enteros lo podría completar igualmente con infinito. Hay dos posibles formas de hacerlo: Z∪{∞}Z∪{∞} o Z∪{+∞,−∞}Z∪{+∞,−∞}. Es decir, podemos considerar que infinito es un único valor que cierra a los enteros tanto por derecha (positivos) como por izquierda (negativos), o que son dos valores, uno positivo y otro negativo. Nuestra necesidad indicará cuál es la forma más conveniente.

Esta decisión es más importante en QQ, el espacio de los números racionales. Si quiero ver a QQ como el espacio donde la división es exacta para todas las cantidades, realmente no es cierto, porque −958÷0−958÷0 no está definido. Al incluir ∞∞ puedo siempre definir la división, incluso para 00 y para ∞∞. Pero no hay razón para incluir dos infinitos diferentes. Dos infinitos diferentes me crearía una ambigüedad en la definición de la división del espacio racional “completado”.

Pero al incluir el infinito en los racionales, tengo el mismo problema de despejar que al incluir el infinito en los naturales. Recuerden que n+∞=128+∞n+∞=128+∞ no implica que n=128n=128. Igualmente a÷∞=−958÷∞a÷∞=−958÷∞ no implica que a=−958a=−958.

O, lo que equivale a la pregunta original: Si 0=1÷∞0=1÷∞, esto no implica que ∞×0=1∞×0=1. Simplemente ∞×0∞×0 no está definido en el espacio de racionales completados Q∞Q∞, de la misma forma que −958÷0−958÷0 no está definido en el espacio de racionales sin completar QQ.

Para hacer cálculo en RR, a veces es conveniente completar el espacio de números reales con infinito positivo y negativo. A veces basta un infinito. Al querer completar (clausurar) los complejos o los espacios vectoriales, hay formas de hacerlo con uno, dos, o infinitos infinitos. Mientras el espacio euclidiano tradicional es equivalente al espacio vectorial R2R2 (sin clausura) tal cual lo demostró Descartes, otros tipos de geometría, como la geometría proyectiva, pueden ser análogos a diferentes tipos de clausuras de R2R2.

Al completar mis espacios con infinitos, puede ser útil (p. ej. los resultados de la geometría proyectiva pueden ser más generales, y por lo tanto más simples de enunciar, que resultados equivalentes en geometría euclidiana), pero debo tener en cuenta que gano algunas cosas y pierdo otras.