¿A qué hora entre las 4 y las 5 las manecillas forman un ángulo de 180º?

Al contrario que la solución de , vamos a hallar una fórmula general para esta situación.

Para empezar asumimos que las agujas se mueven mediante un mecanismo continuo y no a saltos digitales. Llamaremos una división del reloj la marca de cada minuto. En consecuencia, la aguja horaria se mueve cinco divisiones por cada sesenta divisiones que se mueve el minutero (5/60).

Esta es la posición de las agujas del reloj a las 5 en punto:

Si retrocedemos el minutero 5 minutos hasta las XI y no se moviera la aguja horaria tendríamos el problema resuelto.

Pero la aguja horaria se mueve 5/60 hacia atrás por cada minuto que retrocedemos el minutero.

Si movemos el minutero nn minutos la separación entre el minutero y la aguja horaria sería

n(1−5/60)n(1−5/60)

Como queremos que la separación sea de 55 minutos, entonces debe cumplirse que

n(1−5/60)=5n(1−5/60)=5

Es decir, el minutero hay que retrasarlo nn minutos, donde nn es:

n=5/(1−5/60)=5,4545n=5/(1−5/60)=5,4545

Al retrasar el minutero 5,45455,4545 minutos desde la 5 en punto, la hora sería

4h(60−5,4545)′=4h54,54′=4h54′33"4h(60−5,4545)′=4h54,54′=4h54′33"

Las manecillas se encuentran formando un ángulo de 180° a las 4 h 54' 33"

Este resultado se puede generalizar para otras horas, por ejemplo entre las 3 y las 4 la fórmula sería

n=10/(1−5/60)=10,9090n=10/(1−5/60)=10,9090 (porque debe moverse hasta las X: las 10 horas, que corresponde a 1010 minutos antes)

60−10,9090=49,090960−10,9090=49,0909

Da como resultado 3 h 49' 5"

Para las horas de 7 a 12, en vez de retroceder el minutero hay que adelantarlo, y los valores calculados dan los minutos después de la hora.

Haciendo los cálculos, tenemos:

Nótese que para las 6 ocurre una excepción, porque a esa hora ya las dos agujas forman un ángulo de 180°, así que esa posición es la misma para las horas de 5 a 6 y de 6 a 7.