¿Por qué se necesita la parte imaginaria en la ecuación de Schrodinger?

Porque algunos de los operadores en Mecánica Cuántica llevan cantidades imaginarias en su definición:

En un solo eje:

Operador momentum lineal:

p^x=ℏi∂∂xp^x=ℏi∂∂x

p^y=ℏi∂∂yp^y=ℏi∂∂y

p^z=ℏi∂∂zp^z=ℏi∂∂z

Energía cinética para una partícula de masa 'm' en el eje 'x' : p^2x2m=−ℏ22m∂2∂x2p^x22m=−ℏ22m∂2∂x2

La Energía total, se define mediante el operador Hamiltoniano.

H^=p^2x2m+V(x)=−ℏ22m∂2∂x2+V(x)H^=p^x22m+V(x)=−ℏ22m∂2∂x2+V(x)

En tres ejes:

Energía cinética: p^22m=−ℏ22m∇2p^22m=−ℏ22m∇2

La Energía total, se define mediante el operador Hamiltoniano, que en tres ejes sería:

H^=p^22m+V(r)=−ℏ22m∇2+V(r)H^=p^22m+V(r)=−ℏ22m∇2+V(r)

Donde:

∇2∇2: Operador Laplaciano.

La Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo usando la notación de bra-kets sería:

H^|ψ(r⃗ )>=E|ψ(r⃗ )>H^|ψ(r→)>=E|ψ(r→)>

Donde claramente se observa que es una ecuación de eigenvalores y eigenfunciones.

La función potencial para el caso de un electrón sometido a una interacción de tipo coulombiana, la forma del potencial está dado por: V(r)=14πϵoZe2rV(r)=14πϵoZe2r

Reemplazando el operador Hamiltoniano y la función potencial se obtiene.

−ℏ22mμ∇2ψ(r⃗ )+14πϵoZe2rψ(r⃗ )=Eψ(r⃗ )−ℏ22mμ∇2ψ(r→)+14πϵoZe2rψ(r→)=Eψ(r→)

Donde:

Masa reducida del sistema: mμmμ

meme, mpmp : masa del electrón y del protón respetivamente

mμ=mempme+mpmμ=mempme+mp

∇2∇2: Operador laplaciano.

V(r)V(r): Función potencial.

ϵoϵo: Permitividad eléctrica del medio.

14πϵo14πϵo: Constante de Coulomb

ZZ: Número atómico.

El operador laplaciano en coordenadas rectangulares tiene la siguiente forma:

∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2

Pero como el la función potencial para un electrón tiene simetría radial, se trabaja con el laplaciano en coordenadas esféricas.

∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2senθ∂∂θ(senθ∂∂θ)+1r2sen2θ(∂2∂ϕ2)∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2senθ∂∂θ(senθ∂∂θ)+1r2sen2θ(∂2∂ϕ2)

Aunque cuando se trabaja la ecuación de Schrödinger, a la parte radial del laplaciano se le da la siguiente forma:

∇2ψ(r⃗ )=1r∂2∂r2(rψ(r⃗ ))+1r2senθ∂∂θ(senθ∂ψ(r⃗ )∂θ)+1r2sen2θ(∂2ψ(r⃗ )∂ϕ2)∇2ψ(r→)=1r∂2∂r2(rψ(r→))+1r2senθ∂∂θ(senθ∂ψ(r→)∂θ)+1r2sen2θ(∂2ψ(r→)∂ϕ2)

Esta ecuación se soluciona postulando que la función de onda puede descomponerse como una descomposición de dos funciones. Una en la parte radial y otra en la parte angular. A su vez la parte angular de la función de onda puede descomponerse como una función de la coordenada azimutal y una función de la coordenada angular. Y se resuelve separando la función en funciones que dependan de una coordenada.

ψ(r⃗ )=ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)ψ(r→)=ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)

Como algunas soluciones de esta ecuación llevan funciones imaginarias, lo que es realmente significativo es el cuadrado de la función de onda |ψ|2|ψ|2 que matemáticamente se trabaja como una distribución de probabilidad. Sabemos que una función de una variable se grafica en un plano, una función de dos variables se grafica en un sistema de ejes tridimensional y tiene la forma de una superficie. Entonces como graficamos la función de onda que es una función de tres componentes, en el caso de coordenadas esféricas , las componentes son: ψ(r,θ,ϕ)ψ(r,θ,ϕ)

Pues una manera de visualizar una función que depende de tres coordenadas es mediante una distribución de puntos. Por ejemplo sabemos que los orbitales tipo s, son de forma esférica, podemos imaginarnos como una distribución donde cerca del núcleo esta distribución de puntos nos da unos cuantos puntos distribuyéndose mas o menos de manera uniforme, pero cuando uno se aleja del núcleo la distribución de estos puntos aumenta, hasta alcanzar su máximo a una distancia r=aor=ao llamada 'radio de Bohr'. Una vez que esta distribución alcanza su máximo, para distancias de r mayores al radio de Bohr, esta distribución de puntos comienza a descender.

En el siguiente enlace muestra la resolución de la ecuación de Schrodinger para el caso de iones hidrogenoides.

La resolución completa, está en los enlaces correspondientes a la ecuación de Shrodinger en el siguiente blog.

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