b) ¿Se podría efectuar el cálculo de la integral invirtiendo el orden de integración? Argumenta tu respuesta.

En general, es posible efectuar el cálculo de una integral invirtiendo el orden de integración. Sin embargo, no siempre es posible hacerlo, y en algunos casos, el resultado de la integral puede ser diferente si se cambia el orden de integración.

Para poder invertir el orden de integración, es necesario que la función integranda sea integrable en el orden inverso. Esto significa que la función integranda debe ser continua en el dominio de integración y que su integral debe converger.

Además, es necesario que el orden inverso de integración sea posible. Esto significa que los límites de integración en el orden inverso deben ser finitos y que la región de integración debe ser acotada.

Si se cumplen estas condiciones, entonces el cálculo de la integral invirtiendo el orden se puede realizar de la siguiente manera:

∫_a^b f(x) dx = ∫_c^d f(u(x)) |u'(x)| dx

donde:

• f(x) es la función integranda
• a y b son los límites de integración en el orden original
• c y d son los límites de integración en el orden inverso
• u(x) es una función que transforma el orden original en el orden inverso

Por ejemplo, la siguiente integral es integrable en ambos órdenes:

∫_0^1 x^2 dx

En el orden original, los límites de integración son 0 y 1, y la región de integración es el intervalo [0, 1]. En el orden inverso, los límites de integración son 0 y 1, y la región de integración es el intervalo [0, 1].

El cálculo de la integral en ambos órdenes es el mismo:

∫_0^1 x^2 dx = x^3/3 |_0^1 = 1/3

Por lo tanto, el resultado de la integral es el mismo si se cambia el orden de integración.

Sin embargo, la siguiente integral no es integrable en el orden inverso:

∫_0^∞ e^x dx

En el orden original, los límites de integración son 0 y ∞, y la región de integración es el semiplano superior. En el orden inverso, los límites de integración son 0 y ∞, pero la región de integración es el semiplano inferior.

El cálculo de la integral en el orden original es el siguiente:

∫_0^∞ e^x dx = lim_{a->∞} ∫_a^∞ e^x dx = lim_{a->∞} (e^x) |_a^∞ = lim_{a->∞} (∞ - e^a) = ∞

Sin embargo, el cálculo de la integral en el orden inverso es el siguiente:

∫_0^∞ e^x dx = lim_{a->∞} ∫_0^a e^x dx = lim_{a->∞} (e^x) |_0^a = lim_{a->∞} (e^a - 1) = ∞

Por lo tanto, el resultado de la integral es diferente si se cambia el orden de integración.

En general, es importante verificar que la función integranda sea integrable en el orden inverso antes de intentar invertir el orden de integración.