De una función anaĺıtica f : C→ C se sabe que si |z| ≤ 2 es |f(z)| < 3. Hallar un a > 0 tal que |f ′(z)| < a si |z| ≤ 2. a) Existe f : C→ C ana...

a) Existe f : C→ C anaĺıtica tal que Re(f(z)) = |z|2 para todo z ?

Si, existe f : C→ C anaĺıtica tal que Re(f(z)) = |z|2 para todo z. La función f(z) = z^2 es anaĺıtica y cumple con esta condición.

b) De una función anaĺıtica f : C→ C se sabe que si |z| ≤ 2 es |f(z)| < 3. Hallar un a > 0 tal que |f ′(z)| < a si |z| ≤ 2.

Si |f(z)| < 3 para todo z tal que |z| ≤ 2, entonces |f ′(z)| < 3/2 para todo z tal que |z| ≤ 2. Esto se debe a que la derivada de una función anaĺıtica es siempre menor o igual en magnitud a la función misma.

Por lo tanto, un a > 0 tal que |f ′(z)| < a si |z| ≤ 2 es a = 3/2.