18. (*) Sean X e Y v.a. independientes, tales que X ∼ Bi(n, p) e Y ∼ Bi(m, p). Probar que: a) X + Y ∼ Bi(n+m, p). (Nota: k∑ j=0 ( m k−j )( n j ) = ...

a) Sean X e Y v.a. independientes, tales que X ∼ Bi(n, p) e Y ∼ Bi(m, p). Entonces, la distribución de X + Y es la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes, que es la suma de las distribuciones de X e Y. En este caso, la suma de las distribuciones de X e Y es la distribución Bi(n+m, p).

Para probar esto, podemos usar la fórmula de la suma de dos variables aleatorias independientes:

P(X + Y = k) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P(X = i) P(Y = j) \cdot P(X + Y = k | X = i, Y = j)

En esta fórmula, P(X=i) es la probabilidad de que X tome el valor i, P(Y=j) es la probabilidad de que Y tome el valor j, y P(X+Y=k∣X=i,Y=j) es la probabilidad de que X + Y tome el valor k dado que X toma el valor i y Y toma el valor j.

Podemos calcular P(X+Y=k∣X=i,Y=j) usando la fórmula de la distribución binomial:

P(X + Y = k | X = i, Y = j) = \binom{n+m}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n+m-k}

Substituyendo estas fórmulas en la fórmula anterior, obtenemos:

P(X + Y = k) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P(X = i) P(Y = j) \cdot \binom{n+m}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n+m-k}

Esta es la fórmula de la distribución binomial Bi(n+m, p).

b) La distribución de X condicional a X + Y = k es la distribución de X dado que X + Y tiene un valor específico, k. En este caso, la distribución de X dado que X + Y = k es la distribución binomial Bi(k, n/n+m). Esto se debe a que la suma de dos variables aleatorias independientes binomiales es una variable aleatoria binomial.

Para probar esto, podemos usar la fórmula de la distribución condicional de una variable aleatoria binomial:

P(X = i | X + Y = k) = \frac{P(X = i, X + Y = k)}{P(X + Y = k)}

En esta fórmula, P(X=i,X+Y=k) es la probabilidad de que X tome el valor i y X + Y tome el valor k, y P(X+Y=k) es la probabilidad de que X + Y tome el valor k.

Podemos calcular P(X=i,X+Y=k) usando la fórmula de la distribución binomial:

P(X = i, X + Y = k) = \binom{k}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{k-i}

Substituyendo estas fórmulas en la fórmula anterior, obtenemos:

P(X = i | X + Y = k) = \frac{\binom{k}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{k-i}}{\binom{n+m}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n+m-k}}

Esta es la fórmula de la distribución binomial Bi(k, n/n+m).