22. (*) Sean X e Y v.a. independientes tales que X ∼ P(λ) e Y ∼ P(µ). Probar que: a) X + Y ∼ P(λ+ µ). b) La distribución de X condicional a X + Y ...

a) Sean X e Y v.a. independientes tales que X ∼ P(λ) e Y ∼ P(µ). Entonces, la distribución de X + Y es la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes, que es la suma de las distribuciones de X e Y. En este caso, la suma de las distribuciones de X e Y es la distribución P(λ+µ).

b) La distribución de X condicional a X + Y = k es la distribución de X dado que X + Y tiene un valor específico, k. En este caso, la distribución de X dado que X + Y = k es la distribución binomial Bi(k, λ/λ+µ). Esto se debe a que la suma de dos variables aleatorias independientes binomiales es una variable aleatoria binomial.

c) Sean X e Y v.a. tales que X ∼ P(λ) e Y |X=k ∼ Bi (k, p). Entonces, la distribución de Y es la distribución de la variable aleatoria Y condicionada a que X tenga un valor específico, k. En este caso, la distribución de Y dado que X = k es la distribución P(λp). Esto se debe a que la distribución condicional de una variable aleatoria binomial es binomial.

La prueba de cada una de estas afirmaciones es más o menos sencilla y se puede encontrar en libros de texto de probabilidad.