4) Utilizando el concepto de relación entre coeficientes y raíces, hallar las raíces de las siguientes ecuaciones: a) x3 + 5x2 + 4x + 20 = 0; sa...

a) x3 + 5x2 + 4x + 20 = 0; sabiendo que 2i es una raíz

Si 2i es una raíz de la ecuación, entonces también lo son 2i y -2i. Esto se debe a que el conjugado de una raíz de una ecuación polinómica también es raíz de la ecuación. Por lo tanto, las raíces de la ecuación son 2i, -2i y 0.

b) x3 + 8x2 + 4x − 48 = 0; sabiendo que x1 = x2 + x3

Si x1 = x2 + x3, entonces podemos factorizar la ecuación como:

(x2 + x3 − 4)(x - 4) = 0

Esto significa que las raíces de la ecuación son x2 + x3 = 4 y x = 4. Por lo tanto, las raíces de la ecuación son 4, 4 y 0.

c) 4x4 + 4x3 − 63x2 − 64x − 16 = 0; sabiendo que una raíz es doble y las otras dos son opuestas

Si una raíz es doble, entonces la ecuación se puede factorizar como:

(x2 − a)^2(x + b) = 0

donde a es la raíz doble y b es la otra raíz. Por lo tanto, las raíces de la ecuación son x2 − a = 0, x = a y x = -b.

Si las otras dos raíces son opuestas, entonces deben ser x = a y x = -a. Por lo tanto, las raíces de la ecuación son a, -a y -b.

d) 2x3 − 5x2 − 46x + 24 = 0, sabiendo que el producto de dos de sus raíces es −2

Si el producto de dos de las raíces de la ecuación es −2, entonces esas dos raíces deben ser x1 y x2. Por lo tanto, podemos factorizar la ecuación como:

(x1)(x2)(x - 4) = 0

Esto significa que las raíces de la ecuación son x1, x2 y 4.

e) x3 − 6x2 + 9x − 54 = 0, sabiendo que tiene una raíz imaginaria de la forma bi, donde b ∈ ℝ

Si tiene una raíz imaginaria de la forma bi, entonces también debe tener una raíz imaginaria de la forma -bi. Esto se debe a que el conjugado de una raíz de una ecuación polinómica también es raíz de la ecuación. Por lo tanto, las raíces de la ecuación son bi, -bi y 3.