6) Plantear y resolver los siguientes problemas: a) Dada la ecuación x3 + ax2 + bx + a = 0; calcular a, b ∈ ℝ de modo que x = 2 + i sea una raíz ...
a) Dada la ecuación x3 + ax2 + bx + a = 0; calcular a, b ∈ ℝ de modo que x = 2 + i sea una raíz de la ecuación.
b) Dada la ecuación x4 − 6x3 + hx2 + kx + 8 = 0, con h, k ∈ ℝ , con una raíz real doble y otra compleja de la forma a + bi (a, b ∈ ℝ), cuyo módulo es igual a √2 ; calcular: i. Las raíces de la ecuación ii. El valor de h y k
c) Dadas las gráficas de los siguientes polinomios: i. Calcular las raíces de P(x) y el valor de k ∈ ℤ ii. Calcular las raíces de Q(x) y el valor de h y k, si se sabe que tiene raíces enteras y la suma de dos de ellas es igual a −1 iii. Calcular el término independiente de S(x) de grado 7, con coeficiente principal 2, todas sus raíces enteras y S(−1) = −24
d) Sea la ecuación x3 − x2 − 54???? + 144 = 0 , de raíces a, b y c; calcular (a + 1). (b + 1). (c + 1)
e) Calcular las raíces y el valor de k en los siguientes polinomios P(x): i. P(x) = 2x4 − 11x3 + 18x2 − 4x + k, si se sabe que tiene una raíz triple entera ii. P(x) = x5 − 3x4 − x3 + 7x2 + k, si se sabe que el MCD[P(x), P′(x)] = x2 − x − 2
f) Encontrar el polinomio mónico desarrollado P(x): i. De 4° grado, con una raíz entera que anula a P′′(x) = 2x2 − x − 1 y P(0) = −2 ii. Con coeficientes reales, de 5° grado, con MCD[P(x), P′(x)] = x2 − 6x + 9 y −i una de sus raíces
g) Dado el polinomio P(x) = 2x3 − kx2 + hx − 1, con h y k ∈ ℤ+; si se sabe que tiene una raíz fraccionaria y otra que anula a P′(x) = 3x2 − 5x + 2, calcular sus raíces, h y k
h) Dado el
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a) Dada la ecuación x3 + ax2 + bx + a = 0; calcular a, b ∈ ℝ de modo que x = 2 + i sea una raíz de la ecuación.
Si x = 2 + i es una raíz de la ecuación, entonces debe cumplir la ecuación. Por lo tanto, tenemos:
(2 + i)^3 + a(2 + i)^2 + b(2 + i) + a = 0
Expandiendo, obtenemos:
8 + 6i + 4i^2 + 2a + 4ai + bi + a = 0
Reemplazando i^2 = -1, obtenemos:
8 + 6i - 4 + 2a + 4ai + bi + a = 0
Combinando términos, obtenemos:
3 + 10i + (2a + b)i = 0
Comparando los coeficientes, obtenemos:
3 = 2a + b 10 = b
Solucionando el sistema de ecuaciones, obtenemos a = -4 y b = 10. Por lo tanto, las soluciones son a = -4 y b = 10.
b) Dada la ecuación x4 − 6x3 + hx2 + kx + 8 = 0, con h, k ∈ ℝ , con una raíz real doble y otra compleja de la forma a + bi (a, b ∈ ℝ), cuyo módulo es igual a √2 ; calcular: i. Las raíces de la ecuación ii. El valor de h y k
Si la ecuación tiene una raíz real doble, entonces debe tener la forma (x - r)^2(x - s) = 0, donde r y s son las raíces reales. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como:
(x - r)^2(x - s) = x^4 - (r + 2s)x^3 + (rs + 2r + 2s)x^2 - (rs + 2r^2 + 2s^2)x + rs^2 = 0
Si la otra raíz es compleja, entonces debe ser de la forma a + bi, donde a y b son reales. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como:
(x - r)^2(x - (a + bi)) = x^4 - (r + 2s)x^3 + (rs + 2r + 2s)x^2 - (rs + 2r^2 + 2s^2)x + rs^2 = 0
Si el módulo de la raíz compleja es igual a √2, entonces su parte imaginaria debe ser igual a √2 / 2. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación como:
(x - r)^2(x - (a + √2/2)) = x^4 - (r + 2s)x^3 + (rs + 2r + 2s)x^2 - (rs + 2r^2 + 2s^2)x + rs^2 = 0
Comparando los coeficientes, obtenemos:
r + 2s = 0 rs + 2r + 2s = 0 rs + 2r^2 + 2s^2 = 0 rs^2 = 0
Solucionando el sistema de ecuaciones, obtenemos r = -s y a = √2 / 2. Por lo tanto, las raíces de la ecuación son r = -s = 1/2 y a = √2 / 2.
El valor de h y k se puede calcular usando las raíces de la ecuación. Por lo tanto, tenemos:
h = (r + s)^2 = 0 k = rs = 1/4
**c) Dadas las gráficas de los siguientes polinomios: i. Calcular las raíces de P(x) y el valor de k ∈ ℤ ii. Calcular las raíces de Q(x) y el valor de h y k, si se sabe que tiene raíces enteras y la suma de dos de ellas es igual a −1 iii. Calcular el término independiente de S(x) de grado 7, con coeficiente
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