Ejercicio 4: a) Plantear integrales que permiten calcular el área encerrada dentro de ambas curvas dadas en coordenadas polares y ...

a) Las curvas dadas en coordenadas polares son:

r = 1 + cos(θ)
r = 1 - cos(θ)

El área encerrada dentro de ambas curvas se puede calcular usando la siguiente integral:

\int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} (1 + cos(θ) + 1 - cos(θ)) dθ

Esta integral se puede evaluar usando la siguiente fórmula:

\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(a + i \Delta x) \Delta x

Donde:

• f(x)=2
• 
  
• 1
• ​(1+cos(x)+1−cos(x))
• a=0
• b=2π
• Δx=n
• 
  
• b−a
• ​

Al evaluar esta integral, obtenemos que el área encerrada dentro de ambas curvas es 3

4π

​.

b) La sucesión con término general an

​=n2

+1

1

​ es creciente, convergente y acotada superiormente.

Para mostrar que la sucesión es creciente, podemos ver que an+1

​<an

​ para todo n≥1. Esto se debe a que n2

+2n+1<(n+1)2

para todo n≥1.

Para mostrar que la sucesión es convergente, podemos ver que an

​→0 como n→∞. Esto se debe a que n2

+1

1

​<n2

1

​ para todo n≥1, y n2

1

​→0 como n→∞.

Para mostrar que la sucesión es acotada superiormente, podemos ver que an

​<1 para todo n≥1. Esto se debe a que n2

+1

1

​<n2

1

​<1 para todo n≥1.

c) La suma parcial de una serie numérica es la suma de los primeros n términos de la serie. Una serie numérica es convergente si la suma parcial de la serie converge a un número finito.

Una serie numérica es convergente si cumple las siguientes condiciones:

• Los términos de la serie deben tender a cero como n→∞.
• La suma parcial de la serie debe ser acotada superiormente.

Si una serie numérica cumple estas condiciones, entonces la serie converge a un número finito.