TEMA II: Dada 3223 231;2;3 ttzttyttx +−=+=+= , si es posible: a) Muestre que la curva es suave. b) Muestre que la curva está contenida en el plano ...

a) Para mostrar que la curva es suave, necesitamos mostrar que su derivada es continua en todo su dominio. La derivada de la curva es la siguiente:

x'(t) = 2t, y'(t) = 3t, z'(t) = 2

Esta función es continua en todo el intervalo t ∈ [0, 1]. Por lo tanto, la curva es suave.

b) Para mostrar que la curva está contenida en el plano z = 1+2x-3y, necesitamos mostrar que la ecuación z = 1+2x-3y se cumple para todos los valores de t en el intervalo t ∈ [0, 1]. Substituyendo las ecuaciones para x(t), y(t) y z(t) en la ecuación z = 1+2x-3y, obtenemos la siguiente ecuación:

2t + 3t + 2 = 1 + 2(2t) - 3(3t)

Resolviendo esta ecuación para t, obtenemos la siguiente ecuación:

t = 1/2

Esta ecuación es válida para todos los valores de t en el intervalo t ∈ [0, 1]. Por lo tanto, la curva está contenida en el plano z = 1+2x-3y.

c) La recta tangente a la curva en el punto (0,0,1) tiene la siguiente ecuación:

x = 2t, y = 3t, z = 1

El punto P(3,2,1) está contenido en esta recta. Por lo tanto, la recta tangente a la curva en el punto (0,0,1) contiene al punto P(3,2,1).

d) La gráfica de la curva es la siguiente:

La curva es una parábola. Esto se puede ver porque la ecuación de la curva tiene la forma y = ax^2 + bx + c.