Ejercicio 5: (4 puntos) a) Indicar la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. b) Justificar la verdad o falsedad de la...

a) La interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto. La derivada de una función en un punto mide la rapidez con la que cambia la función en ese punto.

b1) La proposición es falsa. Si f(x) es continua en a, entonces f tiene derivada en a, pero no es necesario que f sea derivable en a. Por ejemplo, la función f(x)=∣x∣ es continua en 0, pero no tiene derivada en 0.

b2) La proposición es verdadera. Si la semirrecta tangente por derecha y por izquierda a la gráfica de la función f en el punto a son coincidentes, entonces la gráfica de la función tiene una tangente en el punto a.

b3) La proposición es verdadera. Si f y g son funciones derivables en a, entonces la función h(x)=f(x)g(x) también es derivable en a y su derivada es h′

(a)=f′

(a)g(a)+f(a)g′

(a).

c) La derivada de la función y=x3

es y′

=3x2

. Esto se puede demostrar usando la definición de derivada como la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en un punto. La tangente a la gráfica de la función y=x3

en el punto (a,a3

) es la línea recta y=a3

+3a2

(x−a). La pendiente de esta línea recta es 3a2

, por lo tanto, la derivada de la función y=x3

es 3x2

.