Ejercicio 2: (25 puntos) Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justificar analíticamente las respuestas. a) Si la función )...

La proposición es verdadera.

Si la función f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces f(x) tiene una derivada en cada punto de (a,b). La derivada de una función es la pendiente de su tangente en cada punto. Si la pendiente de la tangente de f(x) en algún punto c es cero, entonces f(x) tiene un punto de inflexión en ese punto.

En el caso de la función g(x), la función es continua en [0,1] y derivable en (0,1). La derivada de g(x) es g′

(x)=x2

1

​, que es cero en x=1. Por lo tanto, g(x) tiene un punto de inflexión en x=1.

b) La proposición es falsa.

Si la función f(x) tiene un punto de inflexión en x=a, entonces la derivada de f(x) cambia de signo en x=a. Esto se debe a que la derivada de una función es la pendiente de su tangente, y la pendiente de una tangente cambia de signo cuando la tangente cruza el eje x.

Si no existe x tal que f′′

(x)=0, entonces la derivada de f(x) no cambia de signo. Por lo tanto, f(x) no puede tener un punto de inflexión.

c) La proposición es verdadera.

La función h(x)=2

1

​x2

−4

1

​ es continua en [−2,2] y derivable en (−2,2). La derivada de h(x)=2x, que es cero en x=0. Por lo tanto, h(x) tiene un máximo absoluto en x=0.

El máximo absoluto de h(x) es h(0)=4

1

​.