á modelado por la ecuación – 2 2 dx ud = f(x), 10 ≤≤ x. Si el potencial en ambas placas es nulo, se pide: (a) Aplicar el método de los elementos ...

(a) El método de los elementos finitos con funciones bases lineales consiste en dividir el dominio del problema en un conjunto de elementos finitos, y luego aproximar la solución en cada elemento por una función lineal. En este caso, el dominio es un intervalo de longitud 1, y podemos dividirlo en 6 elementos finitos de igual longitud. Las funciones bases lineales son entonces las funciones constantes 1, x, x^2, x^3, x^4, y x^5.

Para resolver el problema, debemos encontrar los coeficientes de las funciones bases lineales que satisfagan las condiciones de contorno. Las condiciones de contorno son que el potencial en las placas es nulo. Esto significa que los coeficientes de las funciones bases lineales deben ser tales que la solución sea cero en los puntos x = 0 y x = 1.

Podemos encontrar los coeficientes resolviendo un sistema de 6 ecuaciones lineales. El sistema de ecuaciones está dado por:

u(0) = 0
u(1) = 0
u'(0) = 0
u'(1) = 0
u''(0) = 0
u''(1) = 0

La solución del sistema de ecuaciones es:

u(x) = \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{6}

Los valores aproximados en los cuatro puntos interiores de la malla son:

u(0.166667) = 0.0833333
u(0.333333) = 0.166667
u(0.500000) = 0.250000
u(0.666667) = 0.333333

(b) La solución exacta del problema es dada por:

u(x) = \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{6}

Como se puede ver, los valores aproximados son muy cercanos a la solución exacta.