Integrales por sustitución trigonométrica:
Ejemplo 10: Calcula la integral de ∫(x^2)/(√(1 - x^2)) dx.
Solución: Haciendo la sustitución x = sin(u), podemos resolver esta integral. Entonces, dx = cos(u) du y √(1 - x^2) = cos(u).
Reemplazando en la integral original, obtenemos:
∫(x^2)/(√(1 - x^2)) dx = ∫(sin^2(u))/(cos(u)) (cos(u) du) Simplificando, obtenemos:
∫(x^2)/(√(1 - x^2)) dx = ∫sin^2(u) du
Utilizando la identidad trigonométrica sin^2(u) = (1/2)(1 - cos(2u)), podemos simplificar la integral:
∫(x^2)/(√(1 - x^2)) dx = (1/2)∫(1 - cos(2u)) du
La integral de 1 es u, y la integral de cos(2u) es (1/2)sin(2u), por lo que tenemos:
∫(x^2)/(√(1 - x^2)) dx = (1/2)(u - (1/2)sin(2u)) + C
Reemplazando de nuevo u por arcsin(x), obtenemos:
∫(x^2)/(√(1 - x^2)) dx = (1/2)(arcsin(x) - (1/2)sin(2arcsin(x))) + C, donde C es la constante de integración.