Distribuciones de probabilidad

Conocer la distribución de probabilidades para la variable aleatoria proporciona al químico, médico y al investigador herramientas poderosas para simplificar y describir un conjunto de datos, y para llegar a conclusiones acerca de la población de datos sobre la base de una muestra de datos extraídos de la población.

Variables aleatorias
• Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Es una distribución de probabilidad o distribución de frecuencias teórica que resume las variaciones en los datos observados.
• Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua.
• Es discreta si sus valores surgen del proceso de conteo. Número de clientes, pacientes, electores, empleados, empresas, etc.
• Es continua si sus valores surgen del proceso de medición. Edad, peso, estatura, sueldo. 2 Para iniciar el estudio de las distribuciones de probabilidad, se considera en primer lugar la distribución de probabilidad de una variable discreta, ·la cual se define como sigue: ayo de Bernoulli, nombrado así en honor del matemático suizo James Bernoulli (1654-1705), quien realizó contribuciones importantes en el campo de la probabilidad, incluyendo, particularmente, la distribución binomial.

➢ Cuando en un experimento o proceso aleatorio, llamado ensayo, puede ocurrir solo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, como vida o muerte, enfermo o sano, masculino o femenino, el ensayo se llama ensayo de Bernoulli. 5

Distribución de probabilidad del número posible de águilas que se obtienen al lanzar dos veces una moneda no alterada
Núm. Águilas
(A)
lanzamientos P(A)
0 SS 0.25
1 AS y SA 0.50
2 AA 0.25
Total 1.00

Puede observarse en la tabla que si se lanza dos veces una moneda aparece:
n+1 = 2+1 = 3 resultados diferentes y existen
2???? = 4 maneras diferentes de obtener dichos resultados 6

0
0.5
1
1.5
2
2.5
AA AS y SA SS
Resultados diferentes al lanzar 2 monedas
???? ???? =
????
????
????????????????−????
Fórmula de la distribución binomial 7

Utilizando el desarrollo del binomio al cuadrado podemos obtener las mismas probabilidades obtenidas en la tabla, antes vistas:
???? + ????2 = ????2 + 2???????? + ????2 donde p = q = ½ = 0.5
???? + ???? 2 = 0.52 + 2 0.5 0.5 + 0.52
= 0.25 + 0,50 + 0.25 = 1
donde cada términos resulta la probabilidad de
2A 1A y 0A
respectivamente 8

5A 4A 3A 2A 1A 0A
AAAAA AAAAS AAASS AASSS ASSSS SSSSS
AAASA AASSA SAASS SASSS
AASAA ASSAA SSAAS SSASS
ASAAA SSAAA SSSAA SSSAS
SAAAA SASAA SSASA SSSSA
SAASA SASSA
SAAAS ASSSA
ASAAS ASSAS
AASAS ASASS
ASASA SASAS
1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32
=1

Si se lanzan 5 veces una moneda por el método de enumeración aparece:: 9

Por el desarrollo del binomio a la quinta potencia tenemos
???? + ???? 5 = ????5 + 5????4???? + 10????3????2 + 10????2????3 + 5????1????4 + ????5
Que sustituyendo los valores p=q= ½ podemos obtener las mismas probabilidades obtenidas en la tabla, antes vista.
Asimismo cada término corresponde a las probabilidades de
El coeficiente de cada término indica el número de combinaciones de
5
5
=1
5
4
= 5
5
3
=10 etc.
5A 4A 3A 2A 1A 0A 10

Por ejemplo, vamos a aplicar la fórmula anterior para resolver 5 sobre 2:
El número de combinaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r también se llama número combinatorio y se calcula mediante la siguiente fórmula:
????
????
=
????!
????−???? !????! 11

Si calculamos cada uno de los números combinatorios, el triángulo de Pascal nos queda de la siguiente manera:
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
Estos son los mismo coeficientes, obtenidos por la fórmula de números combinatorios. 12

Si escogemos cualquier término del desarrollo del binomio se puede representar por la fórmula siguiente:
????