2 (a) Demuestre el teorema de reciprocidad de Green: si Φ es el potencial debido a una densidad de carga de volumen ρ dentro de un volumen V y una ...

(a)

El teorema de reciprocidad de Green se puede demostrar usando el teorema de Gauss para el potencial eléctrico. El teorema de Gauss establece que la integral del flujo de un campo eléctrico sobre una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por la superficie.

Consideremos un volumen V limitado por una superficie S. Si Φ es el potencial debido a una densidad de carga de volumen ρ dentro de V y una densidad de carga superficial σ que limita el volumen V, entonces el teorema de Gauss establece que

∮S
E⋅da =
∫
V
ρd3x+
∫
S
σda

donde E es el campo eléctrico.

Si Φ′ es el potencial debido a otra distribución de carga ρ′ y σ′, entonces el teorema de Gauss establece que

∮S
E′⋅da =
∫
V
ρ′d3x+
∫
S
σ′da

Supongamos que Φ′ = Φ. Esto significa que el potencial debido a la distribución de carga ρ′ y σ′ es igual al potencial debido a la distribución de carga ρ y σ.

Si sustituimos esta ecuación en la ecuación anterior, obtenemos

∮S
E′⋅da =
∫
V
ρ′d3x+
∫
S
σ′da
∮S
E⋅da =
∫
V
ρd3x+
∫
S
σda

Esta ecuación es válida para cualquier superficie S que encierre los volúmenes V y V′. Si elegimos S como una superficie que encierra ambos volúmenes, entonces la integral del flujo de E sobre S es igual a cero.

Por lo tanto, tenemos

∫
V
ρd3x+
∫
S
σda =
∫
V′
ρ′d3x+
∫
S′
σ′da

Esta es la ecuación del teorema de reciprocidad de Green.

(b)

Consideremos dos planos conductores paralelos infinitos conectados a tierra, separados por una distancia d. Se coloca una carga puntual q entre los planos. El potencial eléctrico debido a la carga puntual es

Φ(r) =

donde r es el vector de posición desde la carga puntual hasta el punto de interés.

El potencial debido a los planos conductores es nulo.

El teorema de reciprocidad de Green establece que

∫
V
ρ′φd3x+
∫
S
σ′φda =
∫
V
ρφ′d3x+
∫
S
σφ′da

donde ρ′ y σ′ son las densidades de carga de los planos conductores.

En este caso, ρ′ = 0 y σ′ = 0. Por lo tanto, tenemos

∫
V
φ′d3x =
∫
V
φd3x

Si integramos esta ecuación sobre el volumen V, obtenemos

∫
V
φ′d3x =
∫
V
φd3x
φ′(r) =

donde R es la distancia desde el punto de interés hasta el plano conductor.

En el plano conductor, el potencial es nulo. Por lo tanto,

φ′(R) = 0

Esta ecuación es válida para cualquier punto en el plano conductor.

Consideremos un punto P en el plano conductor que está a una distancia x del otro plano. En este punto, tenemos

φ′(R) =
φ′(x) =

La carga inducida en el plano conductor es igual a la densidad de carga superficial en el punto P. Por lo tanto, la carga inducida total en el plano conductor es

σ =
σ =
σ =
σ = (−q x d
)