65. Encuentra un vector u ortogonal al vector v y que tengan el producto vectorial que se indica: a) v = (2,2,2) ; u  v = (8,-10,2) b) v = (...

Solución a)

Un vector u ortogonal a v es un vector que forma un ángulo de 90 grados con v. Para encontrar un vector de este tipo, podemos multiplicar el vector normal a v por un escalar.

El vector normal a v es:

n = v  v = (0,0,0)

El producto vectorial de dos vectores es cero si y solo si los vectores son paralelos. Por lo tanto, no existe un vector u ortogonal a v que tenga el producto vectorial que se indica.

Solución b)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos el vector normal a v:

n = v  v = (12,0,4)

Para que el producto vectorial de u y v sea (18,2,6), el escalar es:

k = \frac{(18,2,6) \cdot (12,0,4)}{|(12,0,4)|} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}

Por lo tanto, el vector u es:

u = k \times n = \frac{5}{2} \times (12,0,4) = \boxed{\left( 30, 0, 10 \right)}

Respuestas:

a) No existe un vector u ortogonal a v que tenga el producto vectorial que se indica. b) u = (30, 0, 10)