Geometría analítica Vectores en el espacio Colección 2

Vista previa del material en texto

MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
Vector fijo1. Representa gráficamente el vector AB y calcula sus componentes:
a) A(2,6,2), B(6,2,7) b) A(2,-2,7), B(4,7,3)
2. Representa gráficamente el vector AB y calcula su exrtemo B:
a) A(2,6,5), AB = (3,-4,-2) b) A(5,2,5), AB = (-3,4,0)
3. Calcula el módulo del vector AB :
a) A(5,2,3), B(3,6,5) b) A(4,6,2), B(2,3,6)
4. Dados los puntos A y B, determina el valor de k para que el módulo del vector AB sea d:
a) A(5,7,2), B(k,3,6); d = 6 b) A(k,8,5), B(6,5,-1); d = 7
5. Comprueba si los vectores AB y CD tienen la misma dirección:
a) A(5,4,2), B(6,2,5), C(3,3,7), D(1,7,1) b) A(2,4,3), B(3,6,5), C(5,1,2), D(6,5,6)
6. Dados los puntos A, B, C y D, determina el valor de k para que los vectores AB y CD tengan la misma dirección:
a) A(4,4,k), B(k,2,3), C(5,2,0), D(1,k,6) b) A(k,5,3), B(6,k,1), C(4,k,k), D(0,5,4)
7. Dados los puntos A, B, C y D, determina los valores de k y t para que los vectores AB y CD tengan la misma dirección:
a) A(k,k,t), B(5,t,4), C(5,3,6), D(1,5,2) b) A(k,3,t), B(6,1,6), C(1,6,1), D(3,k,4)
8. Comprueba si los vectores AB y CD tienen el mismo sentido:
a) A(3,4,6), B(4,6,3), C(6,6,0), D(4,2,6) b) A(4,4,1), B(3,6,2), C(3,6,6), D(6,0,3)
9. Dados los puntos A, B, C y D, determina el valor de k para que los vectores AB y CD tengan el mismo sentido:
a) A(5,2,k), B(k,4,3), C(2,2,k), D(4,k,0) b) A(k,6,2), B(5,k,k), C(k,3,4), D(1,6,k)
10. Dados los puntos A(4,k,4), B(k,3,2), C(1,t,6) y D(3,1,t), determina k y t para que los vectores AB y CD tengan igual módulo y
dirección.
Vector libre11. Escribe y representa gráficamente dos vectores fijos representantes del vector libre v :
a) v = (4,-2,3) b) v = (2,4,-3)
12. Calcula el módulo del vector v :
a) v = (6,-2,3) b) v = (-3,6,6)
13. Determina el valor de k para que el módulo del vector v sea el que se indica:
a) v = (2,k,-4) ; v = 6 b) v = (-6,2-k,k-3) ; v = 7
14. Comprueba si los vectores u y v tienen la misma dirección:
a) u = (1,3,-2) ; v = (-2,-6,4) b) u = (1,2,3) ; v = (-2,-4,-5)
15. Determina el valor de k para que los vectores u y v sean de igual dirección:
a) u = (k-3,k-2,3-k) ; v = (4,k+1,-4) b) u = (k+6,k,2-k) ; v = (k+3,2,k+1)
Resolución: masmates.com Página 1 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020400.htm
www.masmates.com/mm17020401.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
16. Determina los valores de k y t para que los vectores u y v sean de igual dirección:
a) u = (k,k+2t,t-1) ; v = (6,2,-4) b) u = (k-1,2-t,k) ; v = (4,-4,t+2)
17. Determina el valor de k para que los vectores u y v sean del mismo sentido:
a) u = (k-5,4-k,k-4) ; v = (k-3,-6,6) b) u = (k-1,k+1,6) ; v = (k-2,2,k)
18. Determina k y t para que los vectores u y v tengan de igual módulo y dirección:
a) u = (2,t-k,3) ; v = (2k+2t,-3,2k+t) b) u = (1,k-t,t+2) ; v = (2k+1,2t,-3)
19. Encuentra un vector v de módulo 3 que tenga igual dirección que el vector u = (4,-2,4)
20. Calcula los valores de k y t para que el vector u = (k,k+3,2k) tenga de módulo 9 y sea de igual dirección que el vector
v = (t,t+2,2t).
Operaciones21. Los puntos A(5,6,0) y C(2,0,6) cumplen la igualdad: AC = 3AB . Calcula el punto B.
22. Dados los vectores a = (1,-1,2), b = (-1,2,0) y c = (-3,-1,2), realiza las operaciones:
a) a -2b + c b) 2a +3b - c
23. Dados los vectores a = (2,-1,2) y b = (-1,2,-1), calcula el vector c , siendo:
a) 2a +3b - c = (0,6,-2) b) a +3b +2 c = (1,1,5)
24. Dados los vectores a = (k,-1,-k), b = (k,-2,-1) y c = (1,t,1), determina los valores de k y t para que se cumpla:
a) 2b -3a - c = (t,k,-t) b) 2a -b -t c = (4,-4,-1)
25. Dados los vectores a , b y c , determina los valores de x, y, z, para que se cumpla:
a) 
a = (x,y,z), b = (y,z,x), c = (z,x,y)
2a +b -2 c = (6,1,-5)
b) 
a = (-1,4z,2x+y), b = (z,x,-1), c = (y,2,z)
a -b -2 c = (x,y,z)
26. Encuentra un vector v con igual dirección que u y con el módulo que se indica:
a) u = (2,-3,-6) ; v = 1 b) u = (4,-2,4) ; v = 4
27. Dados los vectores a = (1,2,-2) y b = (2,1,-2), determina los valores de x e y para que sea:
a) xa +yb = (-1,4,-2) b) xa +yb = (1,2,-4)
28. Dados los vectores a = (2,-1,2), b = (1,2,-1) y c = (-2,-1,-3), determina los valores de x, y, z, para que sea:
a) xa +yb +z c = (-3,-5,-3) b) xa +yb +z c = (5,3,-2)
29. Encuentra los vectores a y b que cumplen:
a) 2a +b = (1,-1,4) ; a +2b = (5,4,-1) b) 2a +3b = (7,4,7) ; 3a -2b = (4,-7,4)
30. Encuentra los vectores a , b y c que cumplen:
a) 
a +2b +3 c = (-6,-4,0)
2a -b +2 c = (1,-5,-6)
a +3b -2 c = (3,7,7)
b) 
a -2b +2 c = (-4,-3,-2)
2a -b +3 c = (-3,-1,-6)
a +3b - c = (7,4,-4)
Resolución: masmates.com Página 2 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020402.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
Producto escalar31. Calcula el producto escalar de los vectores:
a) u = (1,-2,3) ; v = (2,4,2) b) u = (-3,3,6) ; v = (-3,5,2)
32. Determina el valor de k para que el producto escalar de los vectores u y v sea el que se indica:
a) u = (k,-1,3), v = (-2,k,1) ; u · v = -3 b) u = (3,k,3), v = (1,1-k,2) ; u · v = 3
33. Dados los vectores a = (-2,3,1), b = (2,3,-4) y c = (-1,2,3), realiza las operaciones:
a) 2a ·b 2a - c b) a -2b b -2 c
34. Dados los vectores a = (1,k,1), b = (k,1,-2) y c = (-3,-k,1), determina el valor de k que cumple:
a) a ·b 2a +b - c = (2,6,2) b) a -b b -2 c = -15
35. Encuentra el vector u que cumple: u ·a = 6, u ·b = 13 y u · c = 5, siendo:
a) a = (1,-1,1), b = (1,-2,3), c = (0,-1,1) b) a = (2,1,1), b = (1,-2,3), c = (4,-3,-2)
36. Calcula un vector u de módulo 3 que cumple:
a) 
u ·a = 1 ; u ·b = 2
a = (2,-1,1) ; b = (1,-2,-1)
b) 
u ·a = -2 ; u ·b = 0
a = (2,-1,-1) ; b = (2,1,2)
37. Calcula un vector u con igual dirección que a y que cumpla:
a) u ·a = -28 ; a = (2,-1,3) b) u ·a = -21 ; a = (-2,-2,1)
38. Calcula los valores de k y t , sabiendo que los vectores u = (k,-1,k+1) y v = (t-2,t+4,-6) son de igual dirección y su producto
escalar es -28.
39. Determina los valores de x, y, z que cumplen: a ·b = -2, a · c = -9 y b · c = -1, siendo: a = (1,x,-2) ; b = (y,1,1) ; c = (1,-2,z)
40. Determina los valores de x, y, z que cumplen: a ·b = 10, a · c = 11 y b · c = 5, siendo: a = (x,-1,z) ; b = (1,y,2) ; c = (z,1,x)
Producto vectorial41. Calcula el producto vectorial de los vectores:
a) u (1,-3,1) ; v = (-4,-4,0) b) u = (2,4,2) ; v = (1,-2,3)
42. Dados los vectores a = (-1,1,-1), b = (1,-2,-1) y c = (1,2,-1), calcula:
a) a  b  c b) a b  a  c
43. Determina el valor de k para que el producto vectorial de los vectores u y v sea el que se indica:
a) 
u = (1-k,4,1-k) ; v = (k-1,3,k-1)
u  v = (-14,0,14)
b) 
u = (0,1-k,k+2) ; v = (k,0,1-k)
u  v = (4,-1,2)
44. Determina los valores de x e y que hacen que el producto vectorial de los vectores u y v sea el que se indica:
a) 
u = (x,y,-1) ; v = (2,y,x)
u  v = (3,-6,12)
b) 
u = (x,1,x+1) ; v = (2,-y,y)
u  v = (0,-8,-8)
45. Calcula un vector v de módulo 3 cuyo producto vectorial con el vector u = (3,-2,1) es: u  v = (0,5,10).
46. Dado el vector u , calcula el vector v de forma que se cumpa:
Resolución: masmates.com Página 3 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020403.htm
www.masmates.com/mm17020404.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
a) 
u = (3,3,0)
u · v = 0 ; u  v = (-3,3,12)
b) 
u = (-1,1,3)
u · v = 5 ; u  v = (-14,7,7)
47. Calcula los vectores u y v que cumplen: u + v = (6,-3,3), u · v = 10 y u  v = (3,12,6).
48. Calcula dos vectores u y v , de igual módulo, que cumplan: u - v = (-1,-1,0) y u  v = (1,-1,-5).
49.Calcula el vector w que cumple: w  u = w  v = (16,-8,8), siendo u = (-1,2,4) y v = (1,6,4).
50. Sabiendo que u  v = (1,-2,3), calcula el valor de los productos:
a) 2 v  u b) u - v  u c) u + v  u - v
Ángulos51. Calcula el ángulo que forman los vectores:
a) u = (-4,2,0) ; v = (0,4,-2) b) u = (1,-1,5) ; v = (1,5,-1)
52. Calcula el ángulo que forman los vectores u y v , sabiendo que su producto escalar es u · v = -3 y su producto vectorial
u  v = (3,3,-3).
53. Determina el valor de k para que los vectores u y v formen un ángulo :
a) u = (3,-4,5) ; v = (1,2,k) ;  = 135º b) u = (-1,1,k) ; v = (2,4,k) ;  = 60º
54. Determina los valores de x e y para que el vector v tenga el módulo que se indica y forme con u el ángulo :
a) 
u = (1,1,4) ; v = (x,y,2)
v = 3 ;  = 45º
b) 
u = (1,1,2) ; v = (2,x,y)
v = 2 6 ;  = 120º
55. Calcula un vector u que forme el ángulo  con el vector v y su producto vectorial sea el que se indica:
a)  = 45º ; v = (-1,-2,2) ; u  v = (2,-11,-10) b)  = 60º ; v = (-1,2,-1) ; u  v = (6,6,6)
56. Calcula la proyección del vector u sobre el v :
a) u = (-2,-4,3) ; v = (2,0,-3) b) u = (-4,2,1) ; v = (0,6,0)
57. Calcula el valor de k para que la proyección del vector u sobre el v sea la que se indica:
a) 
u = (4,6,k) ; v = (1,2,-1)
proy
v
u = (2,4,-2) b) 
u = (2,-3k,k) ; v = (3,-6,-3)
proy
v
u = (2,-4,-2)
58. Calcula los valores de x e y para que el módulo del vector u = (x,y,3) sea 26 y su proyección ortogonal sobre el vector
v = (2,4,-2) sea: proy
v
u = (1,2,-1).
59. Dado el vector v , calcula un vector u que cumple proy
v
u = proyección ortogonal de u sobre v :
a) 
v = (-1,2,1)
u  v = (1,-2,5) ; proy
v
u = (2,-4,-2) b) 
v = (0,6,0)
u  v = (0,0,24) ; proy
v
u = (0,3,0)
60. Sabiendo que el módulo del vector u es 7, el del vector v es 8 y el de la suma u + v es 13, calcula el ángulo que forman u y v .
Resolución: masmates.com Página 4 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020405.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
Vectores ortogonales61. Comprueba si los vectores u y v son ortogonales:
a) u = (1,-2,4) ; v = (4,-2,-2) b) u = (2,-3,2) ; v = (-3,-3,-3)
62. Determina el valor de k para que los vectoers u y v sean ortogonales.
a) u = (4,k,2) ; v = (1,2,k) b) u = (k,1,-3) ; v = (k,2,k)
63. Determina los valores de x e y para que el vector u tenga el módulo que se indica y sea ortogonal a v :
a) u = (x,y,-2) ; u = 3 ; v = (2,2,3) b) u = (1,x,y) ; u = 3 2 ; v = (2,2,1)
64. Determina los valores de x e y para que los vectores u = (x,x,y) y v = (1,-2,y) sean ortogonales y el módulo de u sea el doble
del de v .
65. Encuentra un vector u ortogonal al vector v y que tengan el producto vectorial que se indica:
a) v = (2,2,2) ; u  v = (8,-10,2) b) v = (-1,3,2) ; u  v = (18,2,6)
66. Calcula un vector u que sea ortogonal al vector v y su producto escalar con los vectores a y b sea 2, siendo: v = (2,1,-1),
a = (3,1,-1) y b = (-1,2,2).
67. Encuentra un vector w ortogonal a los vectores u y v y con el módulo que se indica:
a) u = (2,-1,-2) ; v = (4,1,-1) ; w = 3 b) u = (3,-4,-3) ; v = (3,-2,-2) ; w = 5
68. Determina los valores de x e y para que los vectores u = (x,-2,2) y v = (y,-1,-4) sean ortogonales y su suma sea:
u + v = (5,-3,-2).
69. Calcula dos vectores u y v que sean ortogonales y cumplan: u + v = (2,1,2) y u  v = (3,0,-3).
70. Calcula un vector u de módulo 6 que sea ortogonal al vector v = (2,-1,-2) y al proyectarlo ortogonalmente sobre el vector
w = (-2,4,2) se obtenga el vector proy
w
u = (-1,2,1).
Combinación lineal. Base71. Determina si los vectores u y v son linealmente dependientes:
a) u = (-2,6,4) ; v = (3,-9,-6) b) u = (2,4,-3) ; v = -1,-2,2)
72. Determina si los vectores a , b y c son linealmente dependientes:
a) a = (-2,4,1) ; b = (4,4,1) ; c = (3,4,5) b) a = (0,4,-1) ; b = (4,4,-2) ; c = (4,0,-1)
73. Determina el valor de k para que los vectores a , b y c sean linealmente dependientes:
a) a = (1,-2,2) ; b = (k,1,-3) ; c = (k,-5,-1) b) a = (4,5,-3) ; b = (k,3,-1) ; c = (1,4,k)
74. Expresa, si es posible, el vector u como combinación lineal de los vectores a y b :
a) u = (-4,1,0) ; a = (1,2,-3) ; b = (2,1,-2) b) u = (-2,2,3) ; a = (2,2,-3) ; b = (1,3,-2)
75. Expresa, si es posible, el vector u como combinación lineal de los vectores a , b y c :
a) u = (3,-1,2) ; a = (2,1,-1) ; b = (1,-1,-2) ; c = (-1,3,1) b) u = (2,-1,-2) ; a = (2,1,4) ; b = (1,2,-1) ; c = (4,4,4)
76. Selecciona el mayor número de vectores linealmente independientes y expresa el resto como combinación lineal de ellos:
Resolución: masmates.com Página 5 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020406.htm
www.masmates.com/mm17020407.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
a) a = (1,2,-2) ; b = (2,1,-1) ; c = (-4,1,-1) ; d = (-3,2,2) b) a = (-1,1,1) ; b = (0,2,-2) ; c = (-2,6,-2) ; d = (-4,6,2)
77. Determina para qué valores de m el vector u puede ponerse como combinación lineal de los vectores a , b y c y exprésalo, si
es posible, para m = 3:
a) u = (-6,0,m) ; a = (-1,1,1) ; b = (-2,0,1) ; c = (1,1,0) b) u = (-2,m-1,-2) ; a = (-1,-1,1) ; b = (-3,-2,m) ; c = (-1,-2,m)
78. Indica si los vectores a ,b , c forman una base de los vectores del espacio y, en caso afirmativo, qué tipo de base forman:
a) 
a = (1,-1,0)
b = (1,2,0)
c = (-1,1,3)
b) 
a = (-3,1,-3)
b = (-2,2,2)
c = (-4,3,1)
c) 
a = (1,2,-2)
b = (2,1,2)
c = (-2,2,1)
79. Determina los valores de k para los que el conjunto de vectores a ,b , c forman una base de los vectores del espacio:
a) a = (2,-1,k) ; b = (-1,2,-1) ; c = (1,4,3) b) a = (2,4,-1) ; b = (k,3,-2) ; c = (-3,k,3)
80. Sabiendo que en la base B1 a 1,b 1, c 1 el vector u tiene de componentes u 1 = (-1,1,3), determina sus componentes en la base
B2 a 2,b 2, c 2 :
a 1 = (2,-1,2) , b 1 = (-1,3,-2), c 1 = (2,-2,1) ; a 2 = (1,1,-1), b 2 = (2,1,2), c 2 = (1,-2,2)
Vectores coplanarios81. Determina si los vectores a , b y c son coplanarios:
a) a = (2,4,-2) ; b = (6,3,-3) ; c = (4,-1,-1) b) a = (2,2,1) ; b = (2,-2,-2) ; c = (2,-1,3)
82. Determina si los vectores a , b , c y d son coplanarios:
a) a = (-2,-2,1) ; b = (0,4,-3) ; c = (-4,4,-4) ; d = (1,3,3) b) a = (3,3,-1) ; b = (3,-3,-3) ; c = (-3,0,2) ; d = (0,3,1)
83. Halla el valor de k para que sean coplanarios los vectores a , b y c :
a) a = (1,-1,-2) ; b = (3,k,k) ; c = (6,-3,0) b) a = (-1,-1,2) ; b = (1,4,2k) ; c = (k,5,2)
84. Determina el valor de m para que sean coplanarios los vectores a = (1,-1,3), b = (1,1,m-2), c = (1,m-1,-6) y d = (1,3-m,0).
85. Calcula los valores de x e y para que los vectores a = (1,-2,x) y b = (1,2,y) sean ortogonales y además coplanarios con el vector
c = (2,2,3),
86. Calcula un vector a que sea coplanario con los vectores b y c y sus productos escalares sean:
a) b = (-2,3,2) ; c = (1,-1,-1) ; a ·b = a · c = 1 b) b = (4,4,-3) ; c = (2,4,-2) ; a ·b = 22 ; a · c = 12
87. Calcula un vector a de módulo 3 que sea coplanario con los vectores b = (-1,2,0) y c = (1,-2,-1) y su producto escalar con c
también sea 3.
88. Indica dos vectores a y b que sean coplanarios con el vector c = (1,2,1) y cumplan:
a) a -b = (1,4,1) ; a · c = 12 ; a = 6 b) a +b = (2,3,3) ; a · c = 3 ; a = b
89. Dados los vectores a = (-2,-2,3) y b = (2,-2,2), calcula un vector u de forma que su producto vectorial con a , u a = (4,-1,2),
sea coplanario con los vectores u y b .
90. Calcula un vector u coplanario con los vectores a y b , que forme con ellos el mismo ángulo y con el módulo que se indica:
a) a = (2,1,-3) ; b = (2,3,1) ; u = 3 b) a= (1,2,-2) ; b = (2,2,-1) ; u = 34
Resolución: masmates.com Página 6 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020408.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
Producto mixto91. Calcula el producto mixto de los vectores:
a) a = (2,1,-2) ; b = (1,2,-3) ; c = (4,-2,-1) b) a = (1,5,2) ; b = (2,2,-3) ; c = (-1,1,2)
92. Determina el valor de k para que el producto mixto de los vectores a , b y c sea el que se indica:
a) 
a = (3,-2,1) ; b = (1,k,k) ; c = (2,-1,3)
a ,b , c = 23
b) 
a = (-1,1,k-2) ; b = (2,2,-2) ; c = (1,3-m,-1)
a ,b , c = -4
93. Determina los valores de x e y para que los vectores a = (1,2,x) y b = (2,2,y) sean ortogonales y el producto mixto con el vector
c = (2,4,-2) sea: a ,b , c = 2.
94. Dada la base de V3, B a ,b , c , se consideran los vectores u , v y w . Sabiendo que el producto mixto de los vectores de la
base es: a ,b , c = 3, calcula el producto mixto u , v ,w , siendo:
a) u = a +2b ; v = b -2a ; w = 2 c -b b) u = a +b - c ; v = a -b + c ; w = a -b - c
95. Dos vectores a y b forman un ángulo de 30º y el vector c es perpendicular a ambos. Calcula el producto mixto a ,b , c , si los
módulos de los vectores son: a = 6, b = c = 3
96. Dados los vectores a y b , calcula un vector c de forma que se cumplan los productos:
a) 
a = (-1,1,-2) ; b = (3,2,-1)
a · c = 7 ; b · c = 10 ; a ,b , c = 4
b) 
a = (2,-2,3) ; b = (3,-1,2)
a · c = 9 ; b · c = 2 ; a ,b , c = 4
97. Calcula un vector a que sea ortogonal a los vectores b = (-2,2,3) y c = (-2,-2,1) y el producto mixto sea: a ,b , c = 36.
98. Dados los vectores a = (2,-1,0) y b = (-1,-2,-1), calcula un vector c de módulo 3 de forma que producto escalar con a sea 4 y el
producto mixto: a ,b , c = -13.
99. Dado el vector c = (1,0,2), calcula los vectores a y b que cumplen:
a) a -b = (1,1,1) ; a = 3 ; a · c = 0 ; a ,b , c = -3 b) a +b = (-1,1,-1) ; a = 6 ; a · c = 3 ; a ,b , c = 3
100. Calcula un vector a de módulo 6 que forme el mismo ángulo con los vectores b = (3,2,1) y c = (1,2,3) y su producto mixto sea:
a ,b , c = 16.
Aplicaciones 1D101. Calcula la distancia que hay entre los puntos A(3,-1,6) y B(5,5,3).
102. Calcula el valor de k para que la distancia entre los puntos A(2,6,2) y B(6,k,k+2) sea 6.
103. Determina el valor de k que hace que el punto B(k,4,k-2) equidiste de los puntos A(7,2,7) y C(2,7,7).
104. Determina los valores de x e y para que el punto P(x,y,5) equidiste de los puntos A(3,1,3), B(5,3,3) y C(1,6,2).
105. Encuentra el punto P que equidista de los puntos A(1,7,7), B(1,1,7), C(6,1,2) y D(3,1,7).
106. Divide el segmento de extremos A(7,1,3) y B(1,7,6) en tres partes iguales.
107. Calcula el punto medio del segmento de extremos A(7,1,2) y B(1,5,4).
Resolución: masmates.com Página 7 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020409.htm
www.masmates.com/mm17020410.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
108. Calcula el simétrico del punto A(1,6,7) respecto del punto C(4,4,5).
109. Comprueba si los puntos A, B y C están alineados:
a) A(1,1,7), B(2,2,5), C(7,6,1) b) A(7,2,1), B(6,3,2), C(2,7,6)
110. Determina k para que el punto C(5,k,k) pertenezca a la recta que pasa por los puntos A(3,1,7) y B(7,7,1).
Aplicaciones 2D111. Calcula el área del triángulo definido por lo puntos A, B y C:
a) A(3,1,3), B(7,1,2), C(5,7,1) b) A(1,5,6), B(5,1,2), C(7,7,4)
112. Calcula el valor de k para que el triángulo de vértices A(6,3,2), B(2,5,2) y C(k,3,5) tenga 7 u2 de área.
113. Comprueba si el triángulo ABC es rectángulo y calcula su área:
a) A(1,1,7), B(7,5,2), C(3,7,3) b) A(4,1,5), B(6,4,1), C(2,6,1)
114. Determina los valores de x e y , sabiendo que el triángulo de vértices A(6,3,2), B(4,5,1) y C(x,y,6) es rectángulo en el vértice A y
su área es de 9 u2.
115. Calcula los valores de x e y para que el triángulo de vértices A(x,y,3), B(4,7,1) y C(4,1,7) sea rectángulo e isósceles, siendo la
hipotenusa el lado BC. Halla su área.
116. Determina los valores de x e y, sabiendo que el triángulo de vértices A(3,5,7), B(1,1,7) y C(x,y,2) es isósceles de 5 6 u2 de área,
siendo el lado desigual el segmento AB.
117. Calcula el vértice D del paralelogramo ABCD, clasifícalo y determina su área:
a) A(5,2,7), B(7,4,6), C(3,6,2) b) A(6,1,2), B(4,3,1), C(2,6,5)
118. Aprovechando dos segmentos AB y AE, siendo A(6,2,1), B(6,6,3) y E(1,2,6), se desea delimitar un
paralelogramo ABCD usando el segmento AB y lo necesario del AE, de forma que el área que encierre
sea de 24 u2. Determina los vértices C y D del paralelogramo.
119. Halla el valor de x y el vértice C de un rombo ABCD y calcula su área, siendo A(1,x,x), B(2,3,6) y D(4,6,5).
120. Determina el valor de k para que los puntos A(6,1,2), B(2,7,2), C(2,6,5) y D(4,3,k) definan un cuadrilátero ABCD. Clasifícalo y
calcula su área.
Aplicaciones 3D121. Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los puntos A, B, C y D:
a) A(6,1,2), B(6,6,1), C(6,2,6), D(1,1,2) b) A(2,0,2), B(3,5,5), C(5,2,2), D(1,0,3)
122. Calcula el volumen del tetraedro definido por los puntos A, B, C y D:
a) A(5,1,3), B(7,5,2), C(5,6,4), D(1,2,5) b) A(7,1,7), B(6,2,2), C(3,7,2), D(2,2,7)
123. Calcula los valores que debe tomar m para que los puntos A(3,1,4), B(1,2,2), C(4,4,1) y D(m,m,1) definan un tetraedro. Indica si
Resolución: masmates.com Página 8 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm17020411.htm
www.masmates.com/mm17020412.htm
www.masmates.com/mm170203.htm
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Vectores en el espacio 2
existe algún valor que haga que el volumen sea 5 u3.
124. Calcula los valores que debe tomar m para que los puntos A(4,2,3), B(2,m,2), C(m,4,2) y D(2,3,2) definan un paralelepípedo.
Indica si existe algún valor que haga que el volumen sea 20 u3.
125. Comprueba que los puntos A(3,3,3), B(5,5,2), C(2,5,5) y D(5,2,5) definen un cubo y calcula su volumen.
126. Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los vectores a = (2,-1,3), b = (1,-2,2) y el producto vectorial de ambos, a b .
127. Dados los vectores a = (2,2,2) y b = (-1,-2,3), calcula un vector c de forma que los tres definan un ortoedro de 84 u3 de
volumen.
128. Un tetraedro ABCD de 15 u3 de volumen tiene como base el triángulo ABC, rectángulo en A, con un área de 9 u2. Si conocemos
los vértices A(1,4,1), C(7,4,1) y D(1,4,6), calcula el vértice B.
129. Determina los valores de x e y para que los vectores a = (2,x,3) y b = (-2,y,2) sean ortogonales y formen con el vector c =
(4,-2,1) un paralelepípedo de 12 u3 de voumen.
130. Dados los vectores a = (2,1,1) y b = (-1,-2,1), encuentra un vector c de módulo 6 que forme el mismo ángulo con los vectores a
y b y el tetraedro que definen tenga 3 u3 de volumen.
 Soluciones
1.a) (4,-4,5) 1.b) (2,9,-4) 2.a) (5,2,3) 2.b) (2,6,5) 3.a) 2 6 3.b) 29 4.a) 7, 3 4.b) 4, 8 5.a) si 5.b) no 6.a) 6 6.b) 2 7.a) 3, 2 7.b) 4, 3; 8, 9 8.a) no
8.b) no 9.a) 6 9.b) no 10. 6, 4 12.a) 7 12.b) 9 13.a) -4, 4 13.b) 0, 5 14.a) si 14.b) no 15.a) 1, 5 15.b) -4 16.a) 3, -1 16.b) -1, 0; 3, 4 17.a) 6, 7
17.b) 3 18.a) 2, -1; -2, 1 18.b) -1, 1 19. (2,-1,2); (-2,1,-2) 20. 3, 2; -4, -8
3
 21. (4,4,2) 22.a) (0,-6,4) 22.b) (2,5,2) 23.a) (1,-2,3) 23.b) (1,-2,3) 24.a) 2, -3
24.b) 2, -2 25.a) 1, 2, -1 25.b) 2, -2, 1 26.a) 2
7
,-3
7
,-6
7
; -2
7
,3
7
,6
7
 26.b) 8
3
,-4
3
,8
3
; -8
3
,4
3
,-8
3
 27.a) 3, -2 27.b) inc. 28.a) 1, -1, 2 28.b) 2, 3, 1 29.a)
(-1,-2,3), (3,3,-2) 29.b) (2,-1,2), (1,2,1) 30.a) (2,0,-1), (-1,1,2), (-2,-2,-1) 30.b) (2,-1,-2), (1,2,-1), (-2,1,-1) 31.a) 0 31.b) 36 32.a) 2 32.b) 3, -2 33.a) (-6,8,-2)
33.b) -39 34.a) 2 34.b) 2, 4 35.a) (1,-3,2) 35.b) (2,-1,3) 36.a) (2,1,-2), -4
3
,-7
3
,4
3
 36.b) -11
53
,146
53
,-6253
, (-1,-2,2) 37.a) (-4,2,-6) 37.b) 14
3
,14
3
,-7
3
 38. 2,
-2; -2
3
, 14 39. 2, -2, 3 40. 2, -2, 3; 3, -3, 2 41.a) (4,-4,-16) 41.b) (16,-4,-8) 42.a) (4,0,-4) 42.b) (8,-8,8) 43.a) -1 43.b) -1 44.a) -2, -3 44.b) -2, -3 45.
(2,2,-1); 11
7
,16
7
,-8
7
 46.a) (-2,2,-1) 46.b) (-3,-4,-2) 47. (2,-2,3), (4,-1,0) 48. (-3,2,-1), (-2,3,-1) 49. (2,4,0) 50.a) (-2,4,-6) 50.b) (1,-2,3) 50.c) (-2,4,-6) 51.a)
66º 25' 19'' 51.b) 109º 28' 16'' 52. 120º 53.a) -2 53.b) 2, -2 54.a) 2, -1; -1, 2 54.b) -4, -2; 4
5
, -22
5
 55.a) (3,-4,5) 55.b) (2,2,-4) 56.a) (-2,0,3) 56.b)
(0,2,0) 57.a) 4 57.b) 2 58. 1, 4; 13
5
, 16
5
 59.a) (4,-3,-2) 59.b) (-4,3,0) 60. 60º 61.a) si 61.b) no 62.a) -1 62.b) 2, 1 63.a) 1, 2; 2, 1 63.b) 1, -4; -13
5
, 16
5
64. 4, 2; 4, -2 65.a) (2,1,-3) 65.b) (1,3,-4) 66. (2,-1,3) 67.a) (1,-2,2); (-1,2,-2) 67.b) -10
7
,15
7
,-30
7
; 10
7
,-15
7
,30
7
 68. 3, 2; 2, 3 69. (1,2,1), (1,-1,1); 1
3
, 1
5
, 1
3
,
5
3
,-2
3
,5
3
 70. (4,4,2); (-2,4,-4) 71.a) si 71.b) no 72.a) no 72.b) si 73.a) -2 73.b) -2, 2 74.a) 2 a -3 b 74.b) no 75.a) 2 a -3 b -2 c 75.b) no 76.a) c =
2 a -3 b 76.b) c = 2 a +2 b ; d = 4 a + b 77.a) m=3; 6 a -3 b -6 c 77.b) m2; -2 a +2 b -2 c 78.a) si 78.b) no 78.c) si; ortogonal 79.a) k3 79.b) k{-11,3}
80. (3,-1,2) 81.a) no 81.b) si 82.a) no 82.b) si 83.a) -2 83.b) -1, 2 84. -1, 2 85. 3, 1 86.a) (2,3,-2) 86.b) (4,0,-2) 87. (0,0,-3); (1,-2,2) 88.a) (0,6,0),
(-1,2,-1); 4,2,4), (3,-2,3) 88.b) (1,-1,4), (1,4,-1) 89. (1,2,-1) 90.a) (-2,-2,1); (2,2,-1) 90.b) (-3,-4,3); (3,4,-3) 91.a) -7 91.b) 10 92.a) 3 92.b) 1, 4 93. 2, -3; -3, 2
94.a) 30 94.b) 12 95. 27 96.a) (1,2,-3) 96.b) (-2,-2,3) 97. (2,-1,2) 98. (1,-2,2); 4
3
,-4
3
,7
3
 99.a) (0,-3,0), (-1,-4,-1); (2,2,-1), (1,1,-2) 99.b) (1,2,1), (-2,-1,-2);
11
5
,-1,2
5
, -16
5
,2,-7
5
 100. (4,2,4); -8
3
.-14
3
,-8
3
 101. 7 102. 2, 4 103. 4 104. 2, 4 105. (2,4,3) 106. (-1,2,1), (3,5,5) 107. (4,3,3) 108. (7,2,3) 109.a) no
109.b) si 110. 4 111.a) 6 2 111.b) 8 6 112. 4; 8 113.a) si; 6 2 113.b) no; 12 114. 8, 7; 2, 1 115. 0, 3; 8, 3; 18 116. 0, 4; 4, 2 117.a) (1,4,3);
rectángulo; 18 117.b) (4,4,6); romboide; 15 118. (2,6,7), (2,2,5) 119. 6; (5,3,5); 91 120. 5; trapecio; 33
2
 121.a) 105 121.b) 7 122.a) 3 122.b) 25
3
 123.
m4; m{-2,10} 124. m{2,3}; m{-2,7} 125. 27 126. 26 127. (5,-4,-1); (-5,4,1) 128. (1,1,1); (1,7,1) 129. -1, 2; -2,1 130. (0,0,-6); (0,0,6); (4,-4,2); (-4,4,2)
Resolución: masmates.com Página 9 de 9 3 de mayo de 2017
www.masmates.com/mm170203.htm