67. Encuentra un vector w ortogonal a los vectores u y v y con el módulo que se indica: a) u = (2,-1,-2) ; v = (4,1,-1) ; w = 3 b) u = (3,...

Solución a)

Un vector w ortogonal a u y v es un vector que forma un ángulo de 90 grados con ambos vectores. Para encontrar un vector de este tipo, podemos multiplicar el vector normal a u y v por un escalar.

El vector normal a u y v es:

n = u \times v = (-10, 1, 1)

El módulo del vector normal es:

|n| = \sqrt{(-10)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{102}

Para que el módulo del vector w sea 3, el escalar es:

k = \frac{3}{\sqrt{102}}

Por lo tanto, el vector w es:

w = k \times n = \frac{3}{\sqrt{102}} \times (-10, 1, 1) = \boxed{\left( -\frac{30}{\sqrt{102}}, \frac{3}{\sqrt{102}}, \frac{3}{\sqrt{102}} \right)}

Solución b)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos el vector normal a u y v:

n = u \times v = (-10, 2, 2)

El módulo del vector normal es:

|n| = \sqrt{(-10)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{108}

Para que el módulo del vector w sea 5, el escalar es:

k = \frac{5}{\sqrt{108}}

Por lo tanto, el vector w es:

w = k \times n = \frac{5}{\sqrt{108}} \times (-10, 2, 2) = \boxed{\left( -\frac{50}{\sqrt{108}}, \frac{10}{\sqrt{108}}, \frac{10}{\sqrt{108}} \right)}