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Vector
En física, un vector1 es un ente matemático como la recta o el plano. Un
vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del
espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo,
dirección y sentido.2 Los vectores nos permiten representar magnitudes
físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.
En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio
vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales
no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección.
En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son
representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden
representar geométricamente como segmentos de recta , en el plano (bidimensional), o en el espacio (tridimensional).
Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no
queda definida tan solo por su módulo que es lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil, sino que se requiere
indicar la dirección (hacia donde se dirige), la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud
o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir el punto inicial y
final del movimiento.
Conceptos fundamentales
Definición
Características de un vector
Magnitudes vectoriales
Notación
Clasificación de vectores
Componentes de un vector
Representación gráfica de los vectores
Suma de vectores
Producto por un escalar
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Suma de vectores sobre un mismo punto
Método del paralelogramo
Método del triángulo o método poligonal
Método analítico para la suma y diferencia de vectores
Producto de un vector por un escalar
Producto escalar
Producto vectorial
Derivada ordinaria de un vector
Derivada covariante de un vector
Ángulo entre dos vectores
Descomposiciones de un vector
Representación gráfica de un vector como
un segmento orientado sobre una recta.
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_Euclidiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo
https://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensional
https://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional
https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Desplazamiento_(vector)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_01.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
https://es.wikipedia.org/wiki/Recta
Cambio de base vectorial
Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, las
componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.
Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman
componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se
representa como (formado mediante el producto cartesiano).
Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:
, donde 
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como
vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional o bidimensional ).
Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:3 4 5 
Módulo: la longitud del segmento.
Dirección: la recta donde está representado el segmento.
Sentido: la orientación del segmento, del origen al extremo del vector.
En inglés, la palabra direction indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos
características: módulo y dirección.6 
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas (y una flecha hacia la derecha encima), por ejemplo , que
indican su origen y extremo respectivamente. Es decir, el punto A es el origen o punto de aplicación y el punto B es el extremo
del vector , cuyas coordenadas son:
Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector está en el plano xy, se representa:
siendo sus coordenadas:
Conceptos fundamentales
Definición
Componentes de un vector.
Características de un vector
https://es.wikipedia.org/wiki/Tupla
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano
https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_geom%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_00.svg
Si consideramos el triángulo formado por las componentes (como
catetos) y (como hipotenusa): se puede calcular multiplicando por
el cosα (siendo α el ángulo formado por y ) o multiplicando por el
senβ (siendo β el ángulo formado por y ). De igual forma se puede
calcular multiplicando por el senα o multiplicando por el cosβ
(considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente).
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y,
z, se puede representar:
siendo sus coordenadas:
Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos:
La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.
El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
Coordenadas cartesianas.
Coordenadas tridimensionales.
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_09.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_08.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Tridimensional
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_02.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_03.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_04.svg
El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el
vector.
El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:
Nombre
Dirección
Sentido
Módulo
Punto de aplicación
Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el
volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente
definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen
otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza,
el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un
dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas
magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras
llamadas escalares.
Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático
que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de
tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así,
un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o
módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser
representada mediante la suma de sus componentes vectoriales
ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas
polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.7 8 
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el
módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.3 4 5 
Magnitudes vectoriales
Representación gráfica de una magnitud
vectorial, con indicación de su punto de
aplicación y de los versores cartesianos.
https://es.wikipedia.org/wiki/Masa
https://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Volumen
https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura
https://es.wikipedia.org/wiki/Desplazamiento_(vector)
https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_euclidiano
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_05.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_06.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector_07.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Moglfm01sn_vector.jpg
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras
en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se
representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes
vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa
su módulo (el cual es un escalar).
Ejemplos
 ... representan, respectivamente, las magnitudes
vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud
vectorial también se representa encerrando entre barras la
notación correspondiente al vector: ...
En los textos manuscritos se escribe: ... para los
vectores y ... o ... para los módulos.
Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la
representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ...
resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un
circunflejo encima, por ejemplo .
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos
de los mismos:
Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Podemos referirnos también a:
Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo
punto. También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.
Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.3 En inglés se dice que son
de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.
Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.
Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o
versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas , , positivos.
Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
Representación de los vectores.
Notación
Clasificación de vectores
Componentes de un vector
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitario
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_equipolente
https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitario
https://es.wikipedia.org/wiki/Base_(%C3%A1lgebra)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Moglfm0101_equipolencia.jpg
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en
la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores , , ,
son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario,
son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante
un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están
implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados de la siguiente manera:
El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial,
por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector solo existen
un número finito de componentes diferentes de cero.
Hay personas que no recomienda usar gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que
lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:
Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha (un segmento y un triángulo en un extremo).
La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos
permanecen en el mismo lugar y orden.
El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo
(final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y
distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de
otros vectores.
Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no
siempre pertenecen al espacio de vectores.
Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:
La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego
uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.
Componentes del vector.
Representación gráfica de los vectores
Suma de vectores
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_columna
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_fila
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Zorn
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Base_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fico
https://es.wikipedia.org/wiki/Imagen
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector1.png
1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en
negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas
ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.
2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores
puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.
3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que
exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los
vectores.
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u
simplifique en un vector cero.
La definición producto por un escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre
visualmente.
Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea modifica, visualmente, la
longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempresuperpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que 
 además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el
origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:
Producto por un escalar
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vetorial_space_P.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_1.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_2.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_3.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_opuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_nulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_4.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3n
a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden
simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.
b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz
de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.
c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma vectorial.
d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.
Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno
coincida con el extremo origen del otro vector.
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Suma de vectores sobre un mismo punto
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_e.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_a.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_b.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_c.GIF
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectorial_space_P_d.GIF
La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectores
puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando los
puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento de fuerza dados dos fuerzas con puntos de aplicación 
se definen la fuerza resultante como el par:[cita requerida]
Donde es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación es el punto de intersección
de las rectas de acción de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentes
ordinarias de vectores:
El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.
Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en
disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de
ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los
vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un
paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal
de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro,
ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el
extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide
con el del primer vector y termina en el extremo del último.
Dados dos vectores libres,
El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
y ordenando las componentes,
Método del paralelogramo
Método del paralelogramo.Método del triángulo o método poligonal
Método del triángulo.
Método analítico para la suma y diferencia de vectores
https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_r%C3%ADgido
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_resultante
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_resultante
https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza
https://es.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectoren_optellen.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vectoren_optellen_2.svg
Con la notación matricial sería
Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo de es:
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el
producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la
del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de
su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el
escalar.
Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa 
y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el
escalar; esto es,
Con la notación matricial sería
Dado un vector que es función de una variable independiente
Producto de un vector por un escalar
Producto por un escalar.
Producto escalar
Producto vectorial
Derivada ordinaria de un vector
https://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_del_m%C3%B3dulo_de_la_suma
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Scalar_multiplication_of_vectors.svg
Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes
como si de escalares se tratara:
teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería
Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una
función vectorial:
Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z,
de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar
que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función 
representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando
tendremos:
Realizando la derivada:
La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de
la partícula en función del tiempo, podemos escribir:
Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es
hacia los valores crecientes de los valores escalares.6 Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.
Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean
coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no solo de la variación de componentes
como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama
Derivada covariante de un vector
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_curvil%C3%ADneas
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Vector-valued_function.jpg
derivada covariante:
Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo
cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de
Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen y otros factores menos comunes.
El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:
Dado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se puede descomponer el primer vector en una
componente paralela y otra componente perpendicular a la direcciónde referencia:
En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela a la
velocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede
descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.
También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado
integrable admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo
solenoidal:
En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha
definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es
ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base
vectorial asociada definida por los versores ; esto es,
Ángulo entre dos vectores
Descomposiciones de un vector
Cambio de base vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_covariante
https://es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Coriolis
https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_centr%C3%ADpeta
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_cuadrado_integrable
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_conservativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_solenoidal
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interior
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_ortogonal
https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados,
manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos
un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base
vectorial asociada definida por los versores . Las
componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:
La operación de rotación de la base vectorial siempre puede
expresarse como la acción de un operador lineal (representado
por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al
vector):
que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.
Ejemplo
En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z,
tendremos la transformación:
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el
vector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:
siendo
las componentes del vector en la nueva base vectorial.
No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico,
los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con
ciertas relaciones fijas.
Cambio de base vectorial.
Cambio de base vectorial.
Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
https://es.wikipedia.org/wiki/Tupla
https://es.wikipedia.org/wiki/Observador
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Moglfm0120_rotacion.jpg
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Moglfm0121_rotacion.jpg
En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con
pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas.
El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes en cuya definición interviene el producto vectorial son en
realidad pseudovectores o vectores axiales.
En teoría especial de la relatividad, solo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores
pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así las componentes de
dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación: 
 
 
Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el
campo eléctrico o el campo magnético de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.
Producto escalar
Producto vectorial
Doble producto vectorial
Producto mixto
Producto tensorial
Combinación lineal
Sistema generador
Independencia lineal
Base (álgebra)
Base ortogonal
Base ortonormal
1. No en general también llamado vector euclidiano o
vector geométrico.[cita requerida]
2. [San Marcos (http://www.editorialsanmarcos.com/%7
CEditorial)] Comprueba el valor del |enlaceautor=
(ayuda) (2018). «2». En Editorial San Marcos.
Compendio de Física. Editorial San Marcos. ISBN 978-
612-315-362-5.
3. Enrico Bompiani, Universidad Nacional del Litoral,
ed., Geometría Analítica (http://books.google.es/book
s/ucm?id=jLHB0fdw67AC&pg=PA15), pp. 14-15,
ISBN 9789875084339
4. Llopis, GÁlvez, Rubio, López (1998), Editorial Tebar,
ed., Física: curso teórico-práctico de fundamentos
físicos de la ingeniería (http://books.google.es/books/
ucm?id=AJA-GRmTzHEC&pg=PA26), p. 26-
27,36,70,71,82, ISBN 9788473601870, «(cito algunos
ejemplos) [de página 26] [Otras magnitudes]
llamadas vectoriales, donde no basta conocer su
valor numerico, sino que además es necesario dar
también su dirección y sentido. [página 70] (...) el
cual es un vector que en general tendrá distinta
dirección y sentido que r(t). [página 71] (...)
Consecuencia de la definición es que la dirección de
este vector derivada, dr/dt, es tangente a la curva
indicatriz, su sentido es el de los valors crecientes
del parámetro escalar t, y que su módulo es: (...)»
5. Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez,
José Ma González Clouté (1997), Ediciones de la
Torre, ed., Programa de diversificación curricular:
ámbito científico-tecnológico: 2o. ciclo de ESO (htt
p://books.google.es/books/ucm?id=ICOmEDmY6gYC
&pg=PA200), Proyecto Didáctico Quirón. Ciencias y
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Véase también
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