33. Enuncia el teorema de Bolzano y, como consecuencia, demuestra los siguientes resultados: (a) La ecuación senx+2x+1=0 tiene al menos una raíz r...

Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y tal que f(a) y f(b) tengan signos opuestos. Entonces, existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que f(c) = 0.

Demostración (a)

La función senx es continua en todo el intervalo [-1, 0]. Además, sen(-1) = -1 y sen(0) = 0, por lo que f(-1) = -1 + 2(-1) + 1 = -1 y f(0) = 0. Como los signos de f(-1) y f(0) son opuestos, se cumple la condición del teorema de Bolzano. Por lo tanto, existe al menos un punto c del intervalo (-1, 0) en el que senx + 2x + 1 = 0.

Demostración (b)

Sea x el punto de intersección de las gráficas de f y g. Por la condición de continuidad, existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a x, tal que f y g son continuas en dicho intervalo. Además, f(a) > g(a) y f(b) < g(b).

Aplicando el teorema de Bolzano, existe al menos un punto c del intervalo (a, b) en el que f(c) = g(c). Como f(c) = g(c), entonces f(c) - g(c) = 0. Por lo tanto, f(c) = g(c) = x, lo que significa que x es la raíz de la ecuación f(x) - g(x) = 0.

Conclusión

Los dos resultados se demuestran aplicando el teorema de Bolzano, que afirma que si una función continua toma valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo cerrado, entonces existe al menos un punto del intervalo abierto en el que la función se anula.