PROBLEMA N.*? 31 Se tiene el rectángulo MFGH y en el A MFH se trazan las cevianas interiores FP y FO, las cua-les trisecan a MH. Si la diagonal MG ...
Se tiene el rectángulo MFGH y en el A MFH se trazan las cevianas interiores FP y FO, las cua-les trisecan a MH. Si la diagonal MG interseca a dichas cevianas en los puntos A y B, respectiva-mente, y FH=40, calcule AB.
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Solución:
Sea x la longitud de MH. Como las cevianas FP y FO trisecan a MH, entonces PH=PF=FO=x/3.
Por la propiedad de los triángulos isósceles, FP=PA y FO=PB.
Como MG es diagonal del rectángulo, entonces MG=MF+GH=40+40=80.
Por el teorema de Pitágoras, tenemos que:
AB^2 = PA^2 + PB^2
AB^2 = (x/3)^2 + (x/3)^2
AB^2 = 2x^2/9
AB = \sqrt{2x^2/9}
AB = \sqrt{2}x/3
AB = \frac{20}{\sqrt{3}}
Por lo tanto, la respuesta es 3
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20
.
Explicación:
Comenzamos dibujando el rectángulo MFGH y las cevianas FP y FO.
Como las cevianas FP y FO trisecan a MH, entonces PH=PF=FO=x/3.
Por la propiedad de los triángulos isósceles, FP=PA y FO=PB.
Como MG es diagonal del rectángulo, entonces MG=MF+GH=40+40=80.
Por el teorema de Pitágoras, tenemos que:
AB^2 = PA^2 + PB^2
AB^2 = (x/3)^2 + (x/3)^2
AB^2 = 2x^2/9
AB = \sqrt{2x^2/9}
AB = \sqrt{2}x/3
AB = \frac{20}{\sqrt{3}}
Por lo tanto, la respuesta es 3
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20
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