A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos. Para la función f(x) =  e(x− 1) ex − e si x < 1 1 4x− 3 si x ≥ 1 , se pide: a) (1 punto) Estudiar su ...

Solución

a) Estudio de continuidad en R y determinación de las ecuaciones de las asíntotas

Continuidad en x = 1

La función f(x) es continua en x = 1 si y solo si f(1 - ) = f(1 + ).

En x = 1 - , f(1 - ) = e(1 - )/ex - e = 0.

En x = 1 + , f(1 + ) = 1/4(1 + ) - 3 = 0.

Por lo tanto, f(x) es continua en x = 1.

Asíntotas

La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = 0, ya que el límite de f(x) cuando x tiende a +∞ o -∞ es 0.

La función f(x) no tiene asíntotas verticales, ya que el dominio de la función es R.

b) Cálculo de g'(0)

La función g(x) es continua en R, ya que la función f(x) es continua en R.

Para calcular g'(0), aplicamos la regla de la cadena:

g'(x) = (ex − e)f'(x)

En x = 0, g'(0) = (e^0 - e)f'(0).

Como f(0) = 0, entonces f'(0) = 0.

Por lo tanto, g'(0) = (e^0 - e)f'(0) = (1 - e) * 0 = 0.

**c) Cálculo de ∫ 5 1 √ f(x) dx **

Para calcular la integral, utilizamos la fórmula de cambio de variable:

∫
a
b
f(u(x))
u'(x) dx =
∫
f(t) dt

donde u(x) es una función biunívoca que transforma el intervalo [a, b] en el intervalo [c, d].

En este caso, vamos a utilizar la función u(x) = 4x - 3, que transforma el intervalo [1, 5] en el intervalo [0, 2].

Por lo tanto, tenemos:

∫
5
1
√
f(x) dx =
∫
2
0
√
f(u(x))
u'(x) dx =
∫
2
0
√
1
4u - 3
4
du
=
∫
2
0
1
4u - 3
du
=
1
2
∫
2
0
1
u - 3
du
=
1
2
[ln(u - 3)]
2
=
1
2
ln
(
2
−
3
)
=
1
2
ln(-1)
=
−
1
2
ln(1)
=
−
1
2
∗
0
=
0

Por lo tanto, el valor de la integral es 0.

Respuesta

a) La función f(x) es continua en R y tiene una asíntota horizontal en y = 0. b) g'(0) = 0. c) ∫ 5 1 √ f(x) dx = 0.